Berührpunkt

Berührpunkt Definition

Möchte man wissen, ob sich zwei Funktionen / Graphen / Kurven in einem (zu findenden) Punkt x₀ berühren, sind 2 Voraussetzungen zu prüfen:

1. Sind die Funktionswerte der beiden Funktionen bei x₀ gleich? Das wäre allerdings auch bei Schnittpunkten so; deshalb gibt es eine zweite Bedingung:
2. Sind die Tangentensteigungen (die 1. Ableitungen der beiden Funktionen) in dem Punkt x₀ gleich?

Beispiel

Die Funktionen seien $f(x) = x^2 + 1$ und $g(x) = -(x^2) + 1$

In der Grafik sieht man schon, dass bei dem Punkt (0 | 1) ein Berührpunkt ist:

Rechnerisch:

Die beiden Funktionen gleichsetzen:

$$f(x) = g(x)$$

$$x^2 + 1 = -(x^2) + 1$$

$$x^2 = -(x^2)$$

Das ist nur für x = 0 der Fall:

$$0^2 = -(0^2)$$

Das kann ein Berührpunkt oder ein Schnittpunkt sein.

Zweite Bedingung für Berührpunkt prüfen: Tangentensteigung identisch?

Dazu werden die ersten Ableitungen der beiden Funktionen gebildet und an der Stelle x₀ = 0 gleichgesetzt:

$$f'(x) = 2x$$

$$g'(x) = -(2x)$$

Gleichsetzung:

$$f'(x_0) = g'(x_0)$$

$$2 \cdot 0 = - (2 \cdot 0)$$

$$0 = 0$$

Da die beiden Seiten gleich sind und damit die zweite Bedingung (gleiche Tangentensteigung) erfüllt ist, liegt ein Berührpunkt vor (würde hier z.B. 1 = 3 stehen, läge kein Berührpunkt vor).

y-Koordinate des Berührpunkts: $f(0) = 0^2 + 1 = 1$ oder $g(0) = -(0^2) + 1 = 1$