Beschränktheit von Funktionen

Beschränktheit von Funktionen Definition

Eine Funktion ist nach oben beschränkt, wenn es einen Wert gibt (sogenannte obere Schranke), der für alle Funktionswerte f(x) für alle x aus dem Definitionsbereich der Funktion nicht überschritten wird.

Das können durchaus viele Werte sein.

Beispiel

Die Funktion f(x) = - x2 ist eine nach unten geöffnete Parabel, der höchste Wert, den die Funktion annehmen kann, ist 0. Dann ist z. B. 0 eine obere Schranke, ebenso 3 oder 79.

Die niedrigste obere Schranke wird als Supremum bezeichnet (im Gegensatz zum Maximum muss das Supremum nicht Teil der Wertemenge sein).

Beispiel

Für die Funktion f(x) = - x2 wäre die 0 die niedrigste obere Schranke (das Supremum), sie ist hier Teil der Wertemenge: f(0) = - 02 = 0.

Eine Funktion ist nach unten beschränkt, wenn es einen Wert gibt (untere Schranke), der für alle Funktionswerte f(x) nicht unterschritten wird. Die höchste untere Schranke wird als Infimum bezeichnet (im Gegensatz zum Minimum muss das Infimum nicht Teil der Wertemenge sein).

Beispiel

Die Funktion f(x) = x2 ist eine nach oben geöffnete Parabel, der niedrigste Wert, den die Funktion annehmen kann, ist 0. Dann ist z. B. 0 eine untere Schranke (und das Infimum), ebenso sind -7 oder -44 untere Schranken.

Alternative Begriffe: Beschränkte Funktion.