Funktion

Funktion Definition

Eine Funktion ist eine Abbildungsvorschrift; so ordnet z.B. die Funktion f (x) = x2 einem x-Wert von 2 eindeutig einen Funktionswert von f(2) = 22 = 4 zu; einem x-Wert von 3 einen Funktionswert von f(3) = 32 = 9 u.s.w.

Definitionsbereich

Ein Funktion hat i.d.R. einen Definitionsbereich (auch: Definitionsmenge) D(f), der angibt, welche x-Werte zulässig sind. Dieser kann

  • einen mathematischen Hintergrund haben (z.B. darf man nicht durch Null teilen und der maximale Definitionsbereich einer Funktion $f(x) = \frac{1}{x}$ würde die Null nicht enthalten: $\mathbb{D}_f = \mathbb{R} \setminus \{ 0 \}$; in Worten: der Definitionsbereich umfasst die reellen Zahlen ohne die 0; oder
  • einen praktischen Hintergrund (z.B. eine Schreinerei, die nur quadratische Holzplatten mit den Kantenlängen 1, 2 oder 3 Meter (und nichts dazwischen oder darüber hinaus) herstellen kann; der Definitionsbereich für die Funktion f (x) = x2 würde dann die positiven ganzen Zahlen 1, 2 und 3 umfassen; D(f) = {1, 2, 3}).

Wertebereich

Der Wertebereich (auch: Wertemenge) der Funktion gibt dann an, welche Werte die Funktion für den Definitionsbereich annehmen kann.

Beispiel

In den meisten Fällen ist die Wertemenge umfassend definiert, z.B. die Menge der Reellen Zahlen $\mathbb{R}$; d.h. alle möglichen Funktionswerte (Ergebnisse der Funktion) liegen im Bereich der reellen Zahlen und nicht z.B. der komplexen Zahlen.

Beschränkt man den Definitionsbereich, z.B. für die Funktion f (x) = x2 auf die Zahlen 1, 2 und 3, sind als Ergebnisse nur 1, 4 und 9 möglich. Diese bezeichnet man als Bildbereich oder Bild der Funktion.

Eine Funktion kann durch eine Funktionsgleichung wie oben mit f (x) = x2 (dabei ist x2 der Funktionsterm), durch eine Abbildungsvorschrift $x \longrightarrow f(x)$ (im Beispiel: $x \longrightarrow x^2$), durch eine Wertetabelle oder mit einem Funktionsgraphen beschrieben werden.

Funktionen haben zwar meistens mit Zahlen zu tun, das muss aber nicht sein; wichtig ist nur die eindeutige Zuordnung: einem Element der Definitionsmenge wird genau ein Element der Wertemenge zugeordnet. Weist man den Namen Anna, Bert und Carla ihre jeweilige Körpergröße in cm zu, ist auch das eine Funktion bzw. Abbildung. Dann fallen allerdings Funktionsgleichung, Funktionsgraph und Abbildungsvorschrift als Darstellungsform weg, es bleibt die Wertetabelle.

Umgekehrt muss die eindeutige Zuordnung nicht gelten: Anna und Bert könnten z.B. dieselbe Körpergröße haben, so dass man nicht eindeutig von der Körpergröße auf den Namen schließen kann.

Alternative Begriffe: Abbildung, Funktionsvorschrift, mathematische Funktion.

Reelle Funktionen

Sind die Definitions- und die Wertemenge einer Funktion Teilmengen der reellen Zahlen $\mathbb{R}$, nennt man die Funktion reelle Funktion.