Bernoulli-Experiment
Bernoulli-Experiment Definition
Ein Bernoulli-Experiment ist ein Zufallsexperiment, das lediglich 2 Ergebnisse haben kann:
- ein positives Ergebnis ("Erfolg", "Ja", "Treffer") und
- ein negatives Ergebnis ("Mißerfolg", "Nein", "Niete").
Ergebnisse
Die Begriffe "positives Ergebnis" / "Erfolg" sind etwas missverständlich; sie bedeuten nicht, dass das Ergebnis wirklich etwas gutes ist, sondern beziehen sich auf das Ereignis, für das man sich interessiert; insofern kann auch der Befund "defekt" in der Qualitätskontrolle als "Erfolg" definiert werden, da man sich dafür interessiert.
Beispiele
Ein Münzwurf kann nur die 2 Ergebnisse haben: Kopf oder Zahl (äußerst selten kommt die Münze auch auf der Seite auf – diesen außergewöhnlichen Fall ignorieren wir hier).
Auch den Wurf eines Würfels könnte man als Bernoulli-Versuch gestalten (obwohl eigentlich 6 Ergebnisse möglich sind). Dazu könnte man zum Beispiel die ungeraden Augenzahlen 1, 3 und 5 als "Erfolg" und die geraden Augenzahlen 2, 4 und 6 als "Mißerfolg" definieren; dann hat man wieder nur 2 mögliche Ergebnisse: "Ungerade Augenzahl" und "Gerade Augenzahl".
Bernoulli-Kette
Das Bernoulli-Experiment kann einmal (einstufiges Experiment) oder mehrmals (mehrstufiges Experiment; daraus ergibt sich die Binomialverteilung) durchgeführt werden, in letzterem Fall liegt eine sogenannte Bernoulli-Kette vor.
Voraussetzung für die Bernoulli-Kette ist, dass bei jeder Wiederholung das Experiment unter den gleichen Voraussetzungen / Bedingungen abläuft.
Das heißt: hier muss "mit Zurücklegen" gespielt werden, da die Voraussetzungen sich sonst mit jedem Zug ändern würden; bei großen Grundgesamtheiten (zum Beispiel 1.000 produzierte Stück als Tagesproduktion) wird das nicht so streng gesehen, da es die Wahrscheinlichkeit nur geringfügig ändert, wenn man ein oder wenige Stück aus der Stichprobe nicht wieder zurücklegt).
Formel
Die Formel für die Bernoulli-Kette lautet:
P (X = k) = { n! / [ k! × (n - k)! ] } × p k × (1 - p) (n -k)
Dabei ist:
- P (X = k): die Wahrscheinlichkeit, genau k Erfolge zu erzielen
- n: Anzahl der Versuche
- p: Wahrscheinlichkeit für Erfolg
- (1 - p): Gegenwahrscheinlichkeit für Erfolg, also die Wahrscheinlichkeit für Misserfolg
- ! das Zeichen für Fakultät.
Alternative Begriffe: Bernoulli-Versuch.
Beispiel
Beispiel eines Bernoulli-Versuchs
Ein Würfel wird 6 mal geworfen.
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau 4 mal eine Zahl >= 5 kommt?
Es gibt also 2 mögliche Ergebnisse: >= 5 oder eben nicht >= 5 (bzw. <= 4).
Die Wahrscheinlichkeit für eine Zahl >= 5 ist 2/6 (die zwei Zahlen 5 und 6 aus den sechs möglichen Zahlen), die Gegenwahrscheinlichkeit ist dann 1 - 2/6 = 6/6 - 2/6 = 4/6.
Die Wahrscheinlichkeit für 4 mal "Zahl >= 5" bei 6-maligem Würfeln ist nach der obigen Formel:
P (X = 4) = { 6! / [ 4! × (6 - 4)! ] } × 2/6 4 × 4/6 (6 -4)
= { (6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1) / [ (4 × 3 × 2 × 1) × (2 × 1) ] } × 1/3 4 × 2/3 2
= 15 × 1/3 4 × 2/3 2 = 0,0823 (ca. 8,2 %).
Erläuterung
6 ist die Anzahl der Versuche und 4 die Anzahl der Erfolge.
2/6 (oder gekürzt 1/3) ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Zahl >= 5 kommt, 2/6 × 2/6 ist die Wahrscheinlichkeit, dass zweimal eine Zahl >= 5 kommt und so weiter.
Und (2/6)4 ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass viermal eine Zahl >= 5 kommt; analog ist die Wahrscheinlichkeit, dass zweimal die Zahl nicht >= 5 ist gleich 4/6 × 4/6 = (4/6)2.
Es gibt mehrere Möglichkeiten, in welcher Anordnung die Würfel 4 mal >= 5 und 2 mal <= 5 sein können, zum Beispiel die ersten 4 mal >= 5 und die letzten zweimal <= 5 oder die ersten 3 mal >= 5, dann zweimal <=5 und dann beim 6. Wurf wieder >= 5, und so weiter.
Die Anzahl der Möglichkeiten ist durch den Term { 6! / [ 4! × (6 - 4)! ] } = 15 bestimmt; der Term entspricht dem Binomialkoeffizienten B (6 über 4).
Bernoulli-Experimente und Verteilungen
Bei einem Bernoulli-Versuch interessieren verschiedene Fragestellungen; aus denen ergeben sich die entsprechenden Verteilungen:
- Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit einer bestimmten Anzahl von Erfolgen bei einer bestimmten Anzahl von Versuchen (zum Beispiel geht es 70 von 100 behandelten Patienten besser?) — Binomialverteilung;
- Wie lange dauert es bis zum ersten Erfolg (zum Beispiel bis man eine 6 würfelt bei einem Brettspiel)? — Geometrische Verteilung;
- Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau eine bestimmte Anzahl aus einer Ziehung ein "Erfolg / Treffer" ist? (zum Beispiel dass genau ein Teil defekt ist bei einer gezogenen Stichprobe von 10 Teilen "ohne Zurücklegen") — Hypergeometrische Verteilung.