Betrag eines Vektors

Betrag eines Vektors Definition

Den Betrag eines Vektors erhält man, indem man die Vektorelemente quadriert, anschließend aufaddiert und von der Summe die Wurzel zieht.

Der Betrag eines Vektors a wird als |a| oder ||a|| geschrieben.

Das Ergebnis gilt auch als Länge eines Vektors.

Beispiele

Der Betrag der Vektors aus dem Vektor-Beispiel (für die Produktion eines Autos brauchte man ein Lenkrad und 4 Reifen) $$a = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \end{pmatrix}$$ ist $$\vert a \vert = \sqrt{1^2 + 4^2} = \sqrt{1 + 16}$$

$$= \sqrt{17} = 4,123 \, (gerundet)$$

Eine räumliche Vorstellung: Zeichnet man ein Quadrat mit 2 cm Kantenlänge, geht der Vektor $a = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix}$ vom Ursprung bis zur rechten oberen Kante des Quadrats; der Betrag des Vektors ist dann die Diagonale des Quadrats (Flächendiagonale):

$$\vert a \vert = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4}$$

$$= \sqrt{8} = 2,8284 \, cm$$

Der Betrag lässt sich auch im dreidimensionalen Raum bzw. für einen 3er-Vektor berechnen; räumliche Vorstellung: Zeichnet man einen Würfel mit 2 cm Kantenlänge, geht der Vektor $a = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}$ vom Ursprung einmal quer durch den Würfel (von der Ecke vorne links unten bis zur Ecke hinten rechts oben); der Betrag des Vektors ist dann die Raumdiagonale des Würfels:

$$\vert a \vert = \sqrt{2^2 + 2^2 + 2^2}$$

$$= \sqrt{4 + 4 + 4} = \sqrt{12} = 3,464 \, cm$$

Alternative Begriffe: Euklidische Norm, Norm eines Vektors, Vektorbetrag, Vektorlänge.