Vektor Definition
Vektoren werden in den Wirtschaftswissenschaften vor allem verwendet, um
- Sachverhalte abzubilden, für die mehrere Zahlen benötigt werden und
- damit einfacher zu rechnen.
Spaltenvektor und Zeilenvektor
Braucht man für die Produktion eines Autos zum Beispiel ein Lenkrad und 4 Reifen, lässt sich dies als zweidimensionaler Spaltenvektor darstellen:
$$a = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \end{pmatrix}$$
Oder als Zeilenvektor: a = (1, 4).
Vektor transponieren
Ein Spaltenvektor kann bei Bedarf in einen Zeilenvektor umgewandelt (transponiert) werden und umgekehrt, das Ergebnis wird als transponierter Vektor bezeichnet.
Ein Vektor hat allgemein eine bestimmte Anzahl von Elementen und ist (im Gegensatz zu Mengen) geordnet: a = (4, 1) ist – mit 4 Lenkrädern und 1 Reifen – etwas ganz anderes als a = (1, 4).
Benötigt ein Auto in Wirklichkeit Tausend Teile, lässt sich auch dies als Vektor darstellen.
Rechnen mit Vektoren
Mit Vektoren kann man rechnen, unter anderem:
- Vektoren addieren und subtrahieren,
- Vektoren multiplizieren (Skalarprodukt und Vektorprodukt),
- die Länge bzw. der Betrag von Vektoren kann berechnet werden,
- der Abstand zwischen zwei Vektoren kann berechnet werden (Euklidische Distanz).
Lernziele
Nach diesem Abschnitt können Sie …
- Den Begriff Vektor definieren und zwischen Spalten- und Zeilenvektor unterscheiden
- Vektoren transponieren und grundlegende Operationen durchführen (addieren, subtrahieren, Skalar- und Vektorprodukt)
- Den Betrag eines Vektors berechnen und Abstände (Euklidische Distanz, Manhattan-Metrik) bestimmen
- Vektoreigenschaften wie Kollinearität, Orthogonalität und lineare Abhängigkeit prüfen
- Den Begriff des Vektorraums erklären sowie Erzeugendensysteme und Basen identifizieren
Grundlagen
Rechenoperationen
Betrag & Abstände
Produkte
Fazit
- Ein Vektor ist eine geordnete Liste von Zahlen; die Reihenfolge ist entscheidend: (1, 4) ≠ (4, 1).
- Spaltenvektoren werden vertikal, Zeilenvektoren horizontal geschrieben; durch Transposition lassen sie sich ineinander umwandeln.
- Mit Vektoren kann man addieren, subtrahieren, Skalar- und Vektorprodukte bilden sowie den Betrag berechnen.
- In den Wirtschaftswissenschaften bieten Vektoren eine kompakte Darstellung mehrdimensionaler Sachverhalte (z. B. Absatzzahlen mehrerer Produkte).
Selbsttest: Vektor
Aufgabe: Sachverhalt als Vektor darstellen
Ein Unternehmen benötigt für die Produktion eines Bauteils 5 Einheiten von Rohstoff A, 2 Einheiten von Rohstoff B und 8 Einheiten von Rohstoff C.
a) Stellen Sie den Bedarf als Spaltenvektor r dar.
b) Schreiben Sie den transponierten Vektor rT.
a) Spaltenvektor r:
$$r = \begin{pmatrix}5\\2\\8\end{pmatrix}$$
b) Transponierter Vektor rT (Zeilenvektor):
rT = (5, 2, 8)