Cauchy-Schwarz-Ungleichung
Cauchy-Schwarz-Ungleichung Definition
Die Cauchy-Schwarz-Ungleichung ist ein Theorem, das besagt:
$$\vert a \cdot b \vert \leq \lVert a \rVert \cdot \lVert b \rVert$$
(Hinweis: wir schreiben die Vektoren hier vereinfacht mit den Buchstaben a und b, ohne Pfeile oder Ähnliches).
In Worten:
Der Betrag des Skalarprodukts aus 2 Vektoren ist generell kleiner gleich dem Produkt der Beträge bzw. Längen der beiden Vektoren.
Beispiel
Beispiel: Cauchy-Schwarz-Ungleichung
Die Cauchy-Schwarz-Ungleichung mit einem Zahlenbeispiel (das ist natürlich kein Beweis):
Die Vektoren sind:
$$a = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}$$
$$b = \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix}$$
Dann lautet die Ungleichung:
$$\vert \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix} \vert \leq \lVert \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} \rVert \cdot \lVert \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix} \rVert$$
Wir berechnen erst das Skalarprodukt auf der linken Seite der Ungleichung (das Betragszeichen lassen wir hier schon weg, das Skalarprodukt ist positiv):
$$3 \cdot 4 + 4 \cdot 3 = 12 + 12 = 24$$
Und nun die Beträge der beiden Vektoren auf der rechten Seite:
Der Betrag des ersten Vektors ist:
$$\Vert a \Vert = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$
Der Betrag des zweiten Vektors ist:
$$\Vert b \Vert = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$$
Das Produkt der beiden Beträge ist:
$$ 5 \cdot 5 = 25$$
Ergebnis
Die linke Seite der Gleichung ist mit 24 kleiner als die rechte Seite der Gleichung; die Cauchy-Schwarz-Ungleichung ist hier erfüllt.