Betriebsminimum

Beispiel: Betriebsminimum berechnen

Ein Unternehmen hat die Kostenfunktion K(x) = x³ - 2x² + 2x + 250.

Die variablen Kosten in der obigen Kostenfunktion sind K_v(x) = x³ - 2x² + 2x; diese Kosten hängen von der Menge bzw. x ab (während die 250 die von der Produktionsmenge x unabhängigen Fixkosten sind).

Die variablen Kosten (pro Stück) mit ein paar Beispielzahlen:

x = 1 (es wird ein Stück produziert):

K(1) = 1³ - 2 × 1² + 2 × 1 = 1 - 2 + 2 = 1

Bei einem Stück sind die durchschnittlichen variablen Kosten pro Stück = 1 / 1 = 1.

x = 2 (es werden zwei Stück produziert):

K(2) = 2³ - 2 × 2² + 2 × 2 = 8 - 8 + 4 = 4

Bei zwei Stück sind die durchschnittlichen variablen Kosten pro Stück = 4 / 2 = 2.

Bei zwei Stück sind die durchschnittlichen variablen Kosten pro Stück mit 2 höher als wenn nur ein Stück produziert wird; das kann schon mal nicht das Minimum sein.

Man könnte jetzt mit 3 Stück etc. weiter machen; das Betriebsminimum – die Menge, bei der die durchschnittlichen variablen Kosten pro Stück am geringsten sind – lässt sich aber rechnerisch ermitteln:

Bedingungen für Betriebsminimum

Das Betriebsminimum ist da, wo

• die 1. Ableitung der variablen Stückkostenfunktion 0 ist und
• die 2. Ableitung der variablen Stückkostenfunktion > 0 ist.

Schritt 1: Variable Stückkostenfunktion aufstellen

Die variablen Stückkosten erhält man, indem man die variable Kostenfunktion durch die Anzahl x teilt:

K_v(x) / x = (x³ - 2x² + 2x) / x = x² - 2x + 2

Schritt 2: Variable Stückkostenfunktion ableiten

1. Ableitung bilden und gleich 0 setzen:

(K_v(x) / x)’ = 2x - 2 = 0

2x = 2

x = 1

2. Ableitung bilden:

(K_v(x) / x)’’ = 2

Die 2. Ableitung ist (hier für alle x) größer 0; das Betriebsminimum liegt deshalb bei x = 1 Stück. Hier sind die durchschnittlichen variablen Kosten pro Stück mit 1² - 2 × 1 + 2 = 1 am geringsten.