Betriebsminimum

Betriebsminimum Definition

Betriebsminimum nennt man die Stückzahl, bei der für eine gegebene Kostenfunktion die durchschnittlichen variablen Kosten (pro Stück) minimal sind (während das Betriebsoptimum auf die durchschnittlichen – fixe und variable zusammen – Kosten abstellt).

Fixkosten werden hier also ignoriert.

(Zur Erinnerung: die variablen Kosten sind die Kosten, die sich mit der Produktionsmenge ändern, etwa die Materialkosten; fixe Kosten fallen unabhängig von der Höhe der Produktionsmenge an, etwa die Miete für die Produktionshalle oder die Abschreibungen für die Maschinen).

Beispiel

Beispiel: Betriebsminimum berechnen

Ein Unternehmen hat die Kostenfunktion K(x) = x3 - 2x2 + 2x + 250.

Die variablen Kosten in der obigen Kostenfunktion sind Kv(x) = x3 - 2x2 + 2x; diese Kosten hängen von der Menge bzw. x ab (während die 250 die von der Produktionsmenge x unabhängigen Fixkosten sind).

Die variablen Kosten (pro Stück) mit ein paar Beispielzahlen:

x = 1 (es wird ein Stück produziert):

K(1) = 13 - 2 × 12 + 2 × 1 = 1 - 2 + 2 = 1

Bei einem Stück sind die durchschnittlichen variablen Kosten pro Stück = 1 / 1 = 1.

x = 2 (es werden zwei Stück produziert):

K(2) = 23 - 2 × 22 + 2 × 2 = 8 - 8 + 4 = 4

Bei zwei Stück sind die durchschnittlichen variablen Kosten pro Stück = 4 / 2 = 2.

Bei zwei Stück sind die durchschnittlichen variablen Kosten pro Stück mit 2 höher als wenn nur ein Stück produziert wird; das kann schon mal nicht das Minimum sein.

Man könnte jetzt mit 3 Stück etc. weiter machen; das Betriebsminimum – die Menge, bei der die durchschnittlichen variablen Kosten pro Stück am geringsten sind – lässt sich aber rechnerisch ermitteln:

Bedingungen für Betriebsminimum

Das Betriebsminimum ist da, wo

  • die 1. Ableitung der variablen Stückkostenfunktion 0 ist und
  • die 2. Ableitung der variablen Stückkostenfunktion > 0 ist.

Schritt 1: Variable Stückkostenfunktion aufstellen

Die variablen Stückkosten erhält man, indem man die variable Kostenfunktion durch die Anzahl x teilt:

Kv(x) / x = (x3 - 2x2 + 2x) / x = x2 - 2x + 2

Schritt 2: Variable Stückkostenfunktion ableiten

1. Ableitung bilden und gleich 0 setzen:

(Kv(x) / x)’ = 2x - 2 = 0

2x = 2

x = 1

2. Ableitung bilden:

(Kv(x) / x)’’ = 2

Die 2. Ableitung ist (hier für alle x) größer 0; das Betriebsminimum liegt deshalb bei x = 1 Stück. Hier sind die durchschnittlichen variablen Kosten pro Stück mit 12 - 2 × 1 + 2 = 1 am geringsten.