Binomische Formeln

Beispiel: Die drei binomischen Formeln

1. Binomische Formel

(a + b)² = a² + 2ab + b²

Dadurch kann man Aufgaben, die man sonst nicht im Kopf rechnen könnte, vereinfachen, zum Beispiel wieviel ist 1.003²?

Dazu denkt man sich 1.003 als (1.000 + 3); a ist dann 1.000 und b ist 3.

1.003² = (1.000 + 3)² = 1.000² + 2 × 1.000 × 3 + 3² = 1.000.000 + 6.000 + 9 = 1.006.009.

Wenn vor a und/oder b noch Faktoren stehen, müssen diese auch quadriert werden:

$$(2a + 3b)^2 = (2a)^2 + 2 \cdot 2a \cdot 3b + (3b)^2 = 4a^2 + 12ab + 9b^2$$

2. Binomische Formel

(a - b)² = a² - 2ab + b²

Ähnliches Beispiel zu oben: wieviel ist 997²?

Dazu denkt man sich 997 als (1.000 - 3); a ist dann 1.000 und b ist 3.

997² = (1.000 - 3)² = 1.000² - 2 × 1.000 × 3 + 3² = 1.000.000 - 6.000 + 9 = 994.009.

3. Binomische Formel

(a + b) × (a - b) = a² - b²

Beispiel (mit binomischer Formel)

(5 + 3) × (5 - 3) = 5² - 3² = 25 - 9 = 16.

Kontrolle (ohne binomische Formel, also einfach durchgerechnet):

(5 + 3) × (5 - 3) = 8 × 2 = 16.