Binomische Formeln

Binomische Formeln Definition

Vereinfachen / Umformen

Mit den binomischen Formeln kann man Aufgaben / Berechnungen vereinfachen und Gleichungen umformen.

Binom

Ein Binom ist ein zweigliedriger Term wie 2x + 3y oder 2x - 1 (nur 2x hingegen wäre ein eingliedriger Term bzw. ein Monom).

1. Binomische Formel

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

Dadurch kann man Aufgaben, die man sonst nicht im Kopf rechnen könnte, vereinfachen, z. B. wieviel ist 1.0032?

Dazu denkt man sich 1.003 als (1.000 + 3); a ist dann 1.000 und b ist 3.

1.0032 = (1.000 + 3)2 = 1.0002 + 2 × 1.000 × 3 + 32 = 1.000.000 + 6.000 + 9 = 1.006.009.

Wenn vor a und/oder b noch Faktoren stehen, müssen diese auch quadriert werden:

$$(2a + 3b)^2 = (2a)^2 + 2 \cdot 2a \cdot 3b + (3b)^2 = 4a^2 + 12ab + 9b^2$$

2. Binomische Formel

(a - b)2 = a2 - 2ab + b2

Ähnliches Beispiel zu oben: wieviel ist 9972?

Dazu denkt man sich 997 als (1.000 - 3); a ist dann 1.000 und b ist 3.

9972 = (1.000 - 3)2 = 1.0002 - 2 × 1.000 × 3 + 32 = 1.000.000 - 6.000 + 9 = 994.009.

3. Binomische Formel

(a + b) × (a - b) = a2 - b2

Beispiel (mit binomischer Formel)

(5 + 3) × (5 - 3) = 52 - 32 = 25 - 9 = 16.

Kontrolle (ohne binomische Formel, also einfach durchgerechnet):

(5 + 3) × (5 - 3) = 8 × 2 = 16.

Binomische Formeln hoch 3

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

(a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3

Binomische Formeln hoch 4

(a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4

(a - b)4 = a4 - 4a3b + 6a2b2 - 4ab3 + b4