Doppelsummen

Doppelsummen Definition

Bei Doppelsummen kommt das Summenzeichen zweimal hintereinander.

Beispiel: Doppelsummen auflösen

Eine Matrix bzw. Tabelle hat 2 Zeilen und 3 Spalten:

$$A = \begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \end{pmatrix}$$

Mit Beispielzahlen:

$$A = \begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix}$$

Möchte man alle 6 Elemente aufaddieren, kann man das als Doppelsumme so schreiben:

$$\sum_{i = 1}^2 \sum_{j = 1}^3 a_{ij}$$

Dabei ist i die Zeilennummer und j die Spaltennummer.

Es wird zunächst i auf 1 gesetzt und dann werden die 3 Spalten j = 1, 2, 3 durchlaufen.

Anschließend wird i auf 2 gesetzt und dann werden wieder die 3 Spalten j = 1, 2, 3 durchlaufen.

$$\sum_{i = 1}^2 \sum_{j = 1}^3 a_{ij}$$

$$= a_{11} + a_{12} + a_{13} + a_{21} + a_{22} + a_{23}$$

$$= 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21$$

Weiteres Beispiel

Beispiel: Doppelsummen berechnen

Es soll folgende Doppelsumme berechnet werden:

$$\sum_{i = 1}^2 \sum_{j = 1}^2 (i + j^2)$$

$$= (1 + 1^2) + (1 + 2^2) + (2 + 1^2) + (2 + 2^2)$$

$$= (1 + 1) + (1 + 4) + (2 + 1) + (2 + 4)$$

$$= 2 + 5 + 3 + 6 = 16$$