Doppelsummen
Doppelsummen Definition
Bei Doppelsummen kommt das Summenzeichen zweimal hintereinander.
Anwendung
Damit kann man beispielsweise in Kurzschreibweise darstellen, dass alle Elemente einer Matrix / Tabelle aufaddiert werden sollen; und dies geschieht dann zeilen- bzw. spaltenweise.
Wenn man in einer Tabellenkalkulation 4 Zahlen markiert, die in 2 Zeilen und 2 Spalten stehen, bekommt man üblicherweise unten im Tabellenblatt die Summe angezeigt. Letztlich ist das eine berechnete Doppelsumme.
Mehrfachsummen
Doppelsummen sind noch nicht das Ende; es gibt auch Mehrfachsummen, bei denen beispielsweise das Summenzeichen dreimal hintereinander kommt. Die Vorgehensweise ist analog der bei einer Doppelsumme.
Alternative Begriffe: Doppel-Summenzeichen, Doppeltes Summenzeichen.
Beispiele
Beispiel 1: Doppelsummen auflösen
Eine Matrix bzw. Tabelle hat 2 Zeilen und 3 Spalten:
$$A = \begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \end{pmatrix}$$
Mit Beispielzahlen:
$$A = \begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix}$$
Möchte man alle 6 Elemente aufaddieren, kann man das als Doppelsumme so schreiben:
$$\sum_{i = 1}^2 \sum_{j = 1}^3 a_{ij}$$
Dabei ist i die Zeilennummer und j die Spaltennummer.
Die erste, linke Summe bezeichnet man auch als äußere Summe, die zweite, rechte Summe als innere Summe.
Es wird zunächst i auf 1 gesetzt und dann werden die 3 Spalten j = 1, 2, 3 durchlaufen.
Anschließend wird i auf 2 gesetzt und dann werden wieder die 3 Spalten j = 1, 2, 3 durchlaufen.
$$\sum_{i = 1}^2 \sum_{j = 1}^3 a_{ij}$$
$$= a_{11} + a_{12} + a_{13} + a_{21} + a_{22} + a_{23}$$
$$= 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21$$
Beispiel 2: Doppelsummen berechnen
Es soll folgende Doppelsumme berechnet werden:
$$\sum_{i = 1}^2 \sum_{j = 1}^2 (i + j^2)$$
$$= (1 + 1^2) + (1 + 2^2)$$
$$+ (2 + 1^2) + (2 + 2^2)$$
$$= (1 + 1) + (1 + 4) + (2 + 1) + (2 + 4)$$
$$= 2 + 5 + 3 + 6 = 16$$
Hinweis: Bandbreite der Indizes
Die Indizes der Doppelsummen (im Beispiel i und j) müssen nicht mit 1 beginnen; i könnte in Beispiel 2 auch mit 2 beginnen und bis 4 laufen und j mit 5 beginnen und bis 10 laufen.