Binomischer Lehrsatz

Binomischer Lehrsatz Definition

Mit dem binomischen Lehrsatz lassen sich Potenzen von Binomen – Beispiel: (x + y)² – als Polynome (im Beispiel: x² + 2xy + y²) darstellen.

Der Binomische Lehrsatz lautet (mit n aus den Natürlichen Zahlen einschließlich der 0, also 0, 1, 2, 3, 4 usw.):

$$(x + y)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \cdot x^{n-k} \cdot y^k$$

Dabei ist $\binom{n}{k}$ der Binomialkoeffizient (Taschenrechner n:k, also z.B. 2:0 und dann die nCR-Taste).

Beispiel

$$(x + y)^2 = \binom{2}{0} \cdot x^{2-0} \cdot y^0 + \binom{2}{1} \cdot x^{2-1} \cdot y^1 + \binom{2}{2} \cdot x^{2-2} \cdot y^2 $$

$$(x + y)^2 = 1 \cdot x^2 \cdot 1 + 2 \cdot x \cdot y + 1 \cdot 1 \cdot y^2$$

$$(x + y)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot y + y^2 $$

Das entspricht der 1. binomischen Formel und funktioniert genauso für höhere Potenzen wie (x + y)³ usw.

Alternative Begriffe: Binomialsatz, Binomischer Satz.