Definition
Die Differenzmenge A \ B enthält die Elemente, die in der Menge A, aber nicht in der Menge B enthalten sind.
Man schreibt A \ B und sagt „A ohne B“.
Sind die Elemente Ereignisse, kann man sagen: Das Ereignis tritt ein, wenn A eintritt, aber nicht B.
Alternative Begriffe: Mengendifferenz, Restmenge.
Beispiele
Beispiele: Differenzmengen berechnen
Beispiel 1: A \ B
Basierend auf den Beispieldaten zum Venn-Diagramm: ein Spieler setzt beim Roulette (mit den Zahlen 0, 1, 2, ..., 36)
- auf die ersten 12 Zahlen (also die zwölf Zahlen 1, 2, ..., 12) sowie
- auf "ungerade" (also die achtzehn Zahlen 1, 3, 5, 7, ..., 35).
Die Menge der ersten 12 Zahlen sei A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}.
Die Menge der ungeraden Zahlen sei B = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31, 33, 35}.
Vorgehen
Man könnte hier so vorgehen, dass man die Menge A Element für Element durchgeht und ein Element jeweils streicht, wenn man es auch in Menge B findet; übrig bleibt dann die Differenzmenge.
Dazu sollte man die Mengen vorher sortieren (wie sie es im Beispiel schon sind).
Ergebnis
Die Differenzmenge A \ B von Menge A und Menge B ist {2, 4, 6, 8, 10, 12}; diese 6 Zahlen sind nur in Menge A enthalten, nicht in Menge B. Deshalb gewinnt der Spieler bei diesen Zahlen nur mit dem ersten Einsatz.
Mächtigkeit berechnen
Die Mächtigkeit (die Anzahl der unterscheidbaren Elemente) der Differenzmenge ist:
|A \ B| = |A| − |A ∩ B|
Die Schnittmenge |A ∩ B| umfasst die 6 Zahlen {1, 3, 5, 7, 9, 11}.
|A \ B| = 12 - 6 = 6
Beispiel 2: B \ A
Man kann die Differenzmenge auch umgekehrt bilden, also B \ A (B ohne A).
Das Ergebnis ist dann ein anderes:
B /A = {13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31, 33, 35}
Fazit
- Differenzmenge A \ B enthält alle Elemente aus A, die nicht in B sind — „A ohne B"
- Nicht kommutativ: A \ B ≠ B \ A (Reihenfolge entscheidet)
- Mächtigkeit: |A \ B| = |A| − |A ∩ B|
- Wenn A ∩ B = ∅ (disjunkt): A \ B = A
Selbsttest: Differenzmenge
Aufgabe: Differenzmengen berechnen
Gegeben seien zwei Mengen: A = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20} (gerade Zahlen von 1 bis 20) und B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} (Zahlen 1 bis 10).
a) Bestimmen Sie A \ B und B \ A. b) Berechnen Sie |A \ B| mithilfe der Formel |A \ B| = |A| − |A ∩ B|. c) Überprüfen Sie: Gilt (A \ B) ∩ (B \ A) = ∅?
a) Differenzmengen bestimmen:
A ∩ B = {2, 4, 6, 8, 10} (gerade Zahlen ≤ 10)
A \ B = {12, 14, 16, 18, 20} — gerade Zahlen aus A, die nicht in B sind
B \ A = {1, 3, 5, 7, 9} — Zahlen aus B, die nicht gerade sind
b) Mächtigkeit über Formel:
|A \ B| = |A| − |A ∩ B| = 10 − 5 = 5
Probe: A \ B = {12, 14, 16, 18, 20} hat tatsächlich 5 Elemente ✓
c) Schnittmenge der Differenzmengen:
A \ B = {12, 14, 16, 18, 20} und B \ A = {1, 3, 5, 7, 9} haben kein gemeinsames Element.
(A \ B) ∩ (B \ A) = ∅ ✓ — Differenzmengen sind stets disjunkt.