Definition
Der direkte Beweis in der Mathematik geht Schritt für Schritt ausgehend von bekannten (bereits bewiesenen) Sätzen und Axiomen folgerichtig und logisch vor, um eine Aussage zu beweisen.
Beispiel
Beispiel: Direkter Beweis
Es soll die Aussage bewiesen werden: "Die Summe von 2 geraden ganzen Zahlen ist gerade.".
Die beiden zu addierenden geraden Zahlen werden mit a und b bezeichnet.
Ausgangspunkt ist die Definition von geraden Zahlen: diese sind (ohne Rest) durch 2 teilbar. Somit ist a durch 2 teilbar und b durch 2 teilbar.
Daraus folgt, dass es ganze Zahlen x und y gibt, die eben die Hälfte von a und b sind; somit gilt: a = 2 × x; b = 2 × y.
Dann kann man die Summe aus a und b auch schreiben als: a + b = 2x + 2y = 2(x + y).
Wenn man eine weitere Variable z als z = x + y definiert (z muss dann auch eine ganze Zahl sein), ergibt sich: a + b = 2z.
Da man die rechte Seite wegen des Faktors 2 auf jeden Fall durch 2 teilen kann, liegt bei der mit 2z gleichgesetzten Summe a + b eine gerade Zahl vor.
Fazit
- Der direkte Beweis leitet die Behauptung Schritt für Schritt aus bekannten Sätzen, Axiomen und Definitionen ab
- Ausgangspunkt sind definierte Begriffe und bereits bewiesene Aussagen; jeder Schritt folgt logisch aus dem vorherigen
- Typisches Vorgehen: Voraussetzungen algebraisch ausdrücken, umformen, Behauptung direkt herleiten
Selbsttest: Direkter Beweis
Aufgabe: Direkter Beweis
Beweisen Sie mithilfe des direkten Beweises: Die Summe einer geraden und einer ungeraden ganzen Zahl ist ungerade.
Voraussetzungen: Sei $a$ eine gerade und $b$ eine ungerade ganze Zahl.
Definition gerade: $a = 2k$ mit $k \in \mathbb{Z}$
Definition ungerade: $b = 2m + 1$ mit $m \in \mathbb{Z}$
Herleitung:
$a + b = 2k + 2m + 1 = 2(k + m) + 1$
Mit $n = k + m \in \mathbb{Z}$ gilt: $a + b = 2n + 1$
Eine Zahl der Form $2n + 1$ ist ungerade. Die Behauptung ist bewiesen. ✓
Probe: $a = 4,\, b = 3$: $4 + 3 = 7 = 2 \cdot 3 + 1$ ✓