Definition
Der Widerspruchsbeweis wird auch als indirekter Beweis bezeichnet.
Er ist eine der Beweismethoden in der Mathematik (dazu gehören zum Beispiel auch die Vollständige Induktion oder der direkte Beweis).
Die Grundidee: Man nimmt mal an, dass die zu beweisende Aussage / Behauptung nicht stimmt und sieht sich an, ob daraus ein Widerspruch, etwas Unsinniges bzw. Absurdes folgt (deshalb auch als Reductio ad absurdum, also „Rückführung aufs Absurde“ bezeichnet).
Wenn das der Fall ist, muss wohl die ursprüngliche Aussage doch stimmen.
Beispiel
Beispiel Widerspruchsbeweis
Folgende Aussage soll (indirekt) bewiesen werden:
"Es gibt keine größte natürliche Zahl.".
Nun nehmen wir an, dass das falsch ist, das heißt wir nehmen an: "Es gibt eine größte natürliche Zahl.". Diese größte Zahl soll mit G bezeichnet werden.
Jetzt nehmen wir diese Zahl G und zählen 1 dazu. G + 1 ist größer als G – das steht aber im Widerspruch zu "Es gibt eine größte natürliche Zahl G.".
Wenn "Es gibt eine größte natürliche Zahl." nicht stimmen kann, muss die ursprüngliche Aussage "Es gibt keine größte natürliche Zahl." richtig sein. Das ist der Beweis durch Widerspruch.
Fazit
- Der Widerspruchsbeweis (indirekter Beweis) nimmt die Negation der Behauptung an und zeigt, dass daraus ein Widerspruch folgt
- Ist der Widerspruch gezeigt, kann die Negation nicht wahr sein — die ursprüngliche Aussage muss gelten
- Auch bekannt als Reductio ad absurdum; nützlich, wenn eine direkte Herleitung schwierig ist
Selbsttest: Widerspruchsbeweis
Aufgabe: Widerspruchsbeweis
Beweisen Sie durch Widerspruch: Es gibt keine kleinste positive rationale Zahl.
Annahme (Gegenteil): Es gibt eine kleinste positive rationale Zahl $q$ mit $q > 0$.
Betrachtung von $\frac{q}{2}$: Da $q$ rational und $q > 0$, ist $\frac{q}{2}$ ebenfalls rational und $\frac{q}{2} > 0$.
Es gilt $\frac{q}{2} q$ (da $q > 0$) — $\frac{q}{2}$ ist also eine positive rationale Zahl, die kleiner als $q$ ist.
Widerspruch: Das widerspricht der Annahme, $q$ sei die kleinste positive rationale Zahl.
Da die Annahme zu einem Widerspruch führt, ist die ursprüngliche Aussage wahr: Es gibt keine kleinste positive rationale Zahl. ✓