Existenzquantor (∃): Bedeutung und Beispiele

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Definition

Ein Existenzquantor ist ein Operator der Prädikatenlogik.

Wenn er so geschrieben wird:

$\exists$, bedeutet das: "Es existiert (mindestens) ein x ...".
$\exists !$ (mit Ausrufezeichen), bedeutet das: "Es existiert genau ein x ...".

Beispiel

Die Aussage sei P(x) = "x - 3 = 0".

Dann ist $\exists \, x \, \in \, \mathbb{N} : P(x)$ (für x aus den Natürlichen Zahlen N) wahr, wenn es mindestens ein x aus N gibt, für das P(x) wahr ist (im Beispiel die Zahl 3). Wenn es kein x gäbe, wäre die Aussage entsprechend falsch.

Im Beispiel gibt es genau ein x, so dass auch $\exists ! \, x \, \in \, \mathbb{N} : P(x)$ wahr ist.

Es gibt auch andere Schreibweisen als die hier mit $\exists \, x \, \in \, \mathbb{N} : P(x)$ verwendete.

Fazit

Der Existenzquantor $\exists$ bedeutet „Es existiert mindestens ein x, für das gilt …"; die Aussage ist wahr, sobald ein Element die Bedingung erfüllt
$\exists!$ (mit Ausrufezeichen) bedeutet „Es existiert genau ein x, für das gilt …"
Gegenstück: Allquantor $\forall$ (Bedingung muss für alle Elemente gelten)

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Selbsttest: Existenzquantor

Was bedeutet $\exists x \in M : P(x)$?

Alle Elemente x aus M erfüllen P(x).

Mindestens ein x aus M erfüllt P(x).

Genau die Hälfte der Elemente aus M erfüllt P(x).

Kein Element aus M erfüllt P(x).

Entscheiden Sie, ob die folgenden Aussagen über den Existenzquantor wahr oder falsch sind.

$\exists x \in \mathbb{N} : x - 3 = 0$ ist wahr (da x = 3 die Gleichung löst).

wahr

falsch

$\exists!$ bedeutet, dass mindestens zwei Elemente die Bedingung erfüllen.

wahr

falsch

Gibt es kein x mit P(x), so ist $\exists x : P(x)$ falsch.

wahr

falsch

Welche Aussagen über den Existenzquantor sind korrekt?

$\exists x : P(x)$ ist wahr, sobald mindestens ein Element P(x) erfüllt.

Für $\exists x : P(x)$ müssen alle Elemente P(x) erfüllen.

$\exists!$ bedeutet, dass genau ein Element die Bedingung erfüllt.

$\exists$ und $\forall$ bedeuten dasselbe.

Auswahl prüfen

Sei P(x) = „x > 10" und M = {5, 8, 12}. Ist $\exists x \in M : P(x)$ wahr?

Nein, da nicht alle Elemente > 10 sind

Ja, da 12 > 10 gilt

Nein, da kein Element die Bedingung erfüllt

Ja, da die Menge genau drei Elemente hat

Nochmal versuchen

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Aufgabe: Existenzquantor anwenden

Sei M = {2, 4, 7} und P(x) = „x ist eine gerade Zahl". Entscheiden Sie, ob $\exists x \in M : P(x)$ und $\exists! x \in M : P(x)$ wahr sind.

Lösung anzeigen

Gerade Zahlen in M = {2, 4, 7}: x = 2 und x = 4

$\exists x \in M : P(x)$: Es gibt mindestens ein gerades x → wahr (z. B. x = 2)

$\exists! x \in M : P(x)$: Es gibt genau ein gerades x → falsch (es sind zwei: x = 2 und x = 4)

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