Definition
Ein Allquantor ist ein Operator der Prädikatenlogik.
Er wird mit $\forall$ geschrieben und bedeutet: "Für alle x gilt ...".
Beispiel
Beispiel
Die Aussage sei P(x) = "x2 = 4".
Dann ist $\forall \, x \, \in \, \{-2, 2\} : P(x)$ (für x aus der aus den beiden Zahlen -2 und 2 bestehenden Menge) wahr, da die Aussage (Gleichung) für alle x aus der Menge {-2, 2} stimmt (-22 = 4 und 22 = 4).
$\forall \, x \, \in \, \mathbb{N} : P(x)$ hingegen (mit x aus der Menge der natürlichen Zahlen N) wäre falsch, da es mindestens ein x aus den natürlichen Zahlen gibt (zum Beispiel 5, 7 oder 10), für das P(x) falsch ist (zum Beispiel ist 52 = 25 und nicht 4).
Es gibt auch andere Schreibweisen als die hier mit $\forall \, x \, \in \, \{-2, 2\} : P(x)$ verwendete.
Fazit
- Der Allquantor $\forall$ bedeutet „Für alle x gilt …"; die Aussage ist nur wahr, wenn die Bedingung für jedes Element der Menge erfüllt ist
- Ein einziges Gegenbeispiel reicht aus, um eine Allquantor-Aussage zu widerlegen
- Gegenstück: Existenzquantor $\exists$ (Bedingung muss für mindestens ein Element gelten)
Selbsttest: Allquantor
Aufgabe: Allquantor prüfen
Sei M = {1, 2, 3, 4} und P(x) = „x ist eine gerade Zahl". Entscheiden Sie, ob $\forall x \in M : P(x)$ wahr ist. Nennen Sie ggf. ein Gegenbeispiel.
Prüfung: 1 ist ungerade → P(1) ist falsch.
$\forall x \in M : P(x)$ ist falsch – Gegenbeispiel: x = 1.
(Auch x = 3 ist ein Gegenbeispiel. Ein einziges reicht zum Widerlegen.)