Fläche zwischen zwei Graphen
Definition
Die Fläche zwischen zwei Graphen / Funktionen / Kurven in einem Intervall kann mit einem Integral berechnet werden.
Alternative Begriffe: Fläche zwischen zwei Funktionen, Fläche zwischen zwei Funktionsgraphen, Fläche zwischen zwei Kurven, Flächeninhalt zwischen zwei Graphen, Integral zwischen zwei Funktionen.
Beispiel
Wir nehmen hier zwei sehr einfache Graphen, nämlich zwei konstante Funktionen im Intervall von 1 bis 4:
f(x) = 2
g(x) = 3
Die Fläche zwischen der "oberen Funktion" g(x) – die im Intervall immer oberhalb der anderen Funktion liegt – und der "unteren Funktion" f(x) im Intervall [1, 4] ist 3 cm2, wie man leicht sehen kann (die Fläche zwischen den beiden Linien):
Grafik
Integral
Die Fläche mit dem Integral berechnet ist:
$$\int_1^4 [g(x) - f(x)] \, dx$$
Das lässt sich über die Stammfunktionen berechnen.
Eine Stammfunktion F(x) für f(x) – das heißt eine Funktion, die abgeleitet f(x) ergibt – wäre zum Beispiel F(x) = 2x, eine Stammfunktion G(x) für g(x) wäre beispielsweise G(x) = 3x.
Integral berechnen:
$$\int_1^4 [g(x) - f(x)] \,dx$$
$$= \left[3x - 2x \right]_1^4$$
$$= (3 \cdot 4 - 2 \cdot 4) - (3 \cdot 1 - 2 \cdot 1)$$
$$=(12 - 8) - (3 - 2) = 4 - 1 = 3$$