Stammfunktion

Stammfunktion Definition

Ausgangspunkt: man hat eine abgeleitete Funktion vor sich und sucht nun eine Funktion (Stammfunktion), welche abgeleitet die vorliegende Funktion ergibt.

Dabei bezeichnet man die abgeleitete Funktion meist mit f(x) (was etwas verwirrend ist, da Ableitungen i.d.R. mit f '(x) symbolisiert werden) und die Stammfunktion mit F(x).

Beispiel

Man bekommt die abgeleitete Funktion f (x) = x2 vorgelegt. Aus den Ableitungsregeln für Potenzfunktionen weiß man, dass F(x) = 1/3 x3 abgeleitet x2 ergibt (die Ableitung von xn ist nxn-1, also bei x3 wäre es 3x2 und da man hier nicht 3x2, sondern x2 als Vorgabe hat, muss man mit 1/3 multiplizieren).

Aber auch F(x) = 1/3 x3 + 1 oder F(x) = 1/3 x3 + 17 würde abgeleitet x2 ergeben (da die Konstante beim Ableiten wegfällt).

Man schreibt deshalb (mit C für Konstante) F(x) = 1/3 x3 + C und das sind dann Stammfunktionen bzw. Integrale der Funktion f(x) = x2.

Damit kann man dann rechnen, z.B. die Fläche unter der Funktion x2 (Fläche zwischen Funktionsgraf und x-Achse) im Intervall 2 bis 4 berechnen.

$$\int_2^4 x^2 dx = \left[\frac{1}{3} x^3 \right]_2^4 = \frac{1}{3} \cdot 4^3 - \frac{1}{3} \cdot 2^3 = 18,67$$