Stammfunktion

Stammfunktion Definition

Ausgangspunkt: man hat eine abgeleitete Funktion vor sich und sucht nun eine Funktion (Stammfunktion), welche abgeleitet die vorliegende Funktion ergibt.

Dabei bezeichnet man die abgeleitete Funktion meist mit f(x) (was etwas verwirrend ist, da Ableitungen i.d.R. mit f '(x) symbolisiert werden) und die Stammfunktion mit F(x).

Beispiel

Man bekommt die abgeleitete Funktion f (x) = x² vorgelegt. Aus den Ableitungsregeln für Potenzfunktionen weiß man, dass F(x) = 1/3 x³ abgeleitet x² ergibt (die Ableitung von xⁿ ist nx^n-1, also bei x³ wäre es 3x² und da man hier nicht 3x², sondern x² als Vorgabe hat, muss man mit 1/3 multiplizieren).

Aber auch F(x) = 1/3 x³ + 1 oder F(x) = 1/3 x³ + 17 würde abgeleitet x² ergeben (da die Konstante beim Ableiten wegfällt).

Man schreibt deshalb (mit C für Constant: engl. für Konstante bzw. Integrationskonstante) F(x) = 1/3 x³ + C und das sind dann Stammfunktionen bzw. Integrale der Funktion f(x) = x².

Damit kann man dann rechnen, z.B. die Fläche unter der Funktion x² (Fläche zwischen Funktionsgraf und x-Achse) im Intervall 2 bis 4 berechnen.

$$\int_2^4 x^2 dx = \left[\frac{1}{3} x^3 \right]_2^4 = \frac{1}{3} \cdot 4^3 - \frac{1}{3} \cdot 2^3 = 18,67$$

Zu den Begrifflichkeiten: Ableitung ist englisch derivative und dass "Stammfunktion bilden" das Gegenstück zum Ableiten ist, wird durch antiderivative für Stammfunktion gut deutlich.

Deutsch hingegen werden für "Stammfunktion bilden" manchmal die Begriffe Aufleitung bzw. Aufleiten als Gegenstück zu Ableitung / Ableiten verwendet.