Definition
Eine Funktionenschar liegt vor, wenn eine Funktionsvorschrift neben der üblichen Variablen (zum Beispiel x) noch einen Parameter (zum Beispiel k) hat.
Kann der Parameter beispielsweise 3 Werte annehmen, erhält man (eine Schar von) 3 Funktionen; kann er 4 Werte annehmen, entsprechend (eine Schar von) 4 Funktionen und so weiter.
Alternative Begriffe: Funktionsscharen, Kurvenschar, Parameterfunktion, Schar, Scharfunktion.
Beispiel
Beispiel Funktionenschar
Eine Funktionenschar könnte so gebildet werden:
$f_k(x) = 3x + k$ mit k aus den Natürlichen Zahlen 1 bis einschließlich 100.
Dann wäre zum Beispiel
$$f_1(x) = 3x + 1$$
$$f_2(x) = 3x + 2$$
$$...$$
$$f_{100}(x) = 3x + 100$$
Die Funktionswerte sind dann je nach Parameter für gleiche x ganz unterschiedlich, zum Beispiel für x = 1:
$$f_1(1) = 3 \cdot 1 + 1 = 4$$
$$f_2(1) = 3 \cdot 1 + 2 = 5$$
$$...$$
$$f_{100}(1) = 3 \cdot 1 + 100 = 103$$
Man kann also den Funktionsverlauf einer Funktion mit einer Variablen x für verschiedene Parameter betrachten (im Beispiel erhält man 100 parallele Geraden).
Interpretation
Das kann man sich beispielsweise als einen Stromtarif vorstellen, bei dem alle Kunden 3 € je verbrauchter kWh (x) bezahlen und je nach Kundengruppe zusätzlich zwischen 1 € (k = 1) und 100 € (k = 100) Grundgebühr.
Gehört jemand zur „Kundengruppe 1“ (k = 1), kann bei bekanntem Stromverbrauch die Stromrechnung an der Funktion f1(x) = 3x + 1 abgelesen werden: bei 100 kWh Verbrauch wären das f1(100) = 3 × 100 + 1 = 301 €.
Hinweis: eine Funktionenschar mit einer Variablen und einem Parameter ist nicht dasselbe wie eine Funktion mit 2 Variablen. Im ersten Fall hat man mehrere Funktionsgraphen, im zweiten Fall nur einen.
Fazit
- Eine Funktionenschar enthält neben der Variablen x einen zusätzlichen Parameter (z. B. k) – für jeden Parameterwert entsteht eine eigene Funktion
- Beispiel: fk(x) = 3x + k – für k = 1, 2, …, 100 ergibt das 100 parallele Geraden mit je gleicher Steigung
- Gleicher x-Wert, unterschiedliche Funktionswerte: der Parameter steuert, welche Funktion der Schar aktiv ist
- Abgrenzung: eine Funktionenschar (eine Variable, ein Parameter) ist nicht dasselbe wie eine Funktion mit 2 Variablen
Selbsttest: Funktionenschar
Aufgabe: Funktionenschar
Gegeben ist die Funktionenschar fk(x) = 2x2 + k mit k ∈ {−2, 0, 3}.
(a) Berechnen Sie f−2(3), f0(3) und f3(3).
(b) Wie verändert der Parameter k den Graphen?
(a) Einsetzen x = 3:
f−2(3) = 2 · 9 + (−2) = 18 − 2 = 16
f0(3) = 2 · 9 + 0 = 18
f3(3) = 2 · 9 + 3 = 21
(b) Wirkung von k: k verschiebt die Parabel vertikal – nach unten für k < 0, nach oben für k > 0. Die Form (Steigung, Öffnung) bleibt unverändert.