Funktionenschar

Funktionenschar Definition

Eine Funktionenschar liegt vor, wenn eine Funktionsvorschrift neben der üblichen Variablen (zum Beispiel x) noch einen Parameter (zum Beispiel k) hat.

Kann der Parameter beispielsweise 3 Werte annehmen, erhält man (eine Schar von) 3 Funktionen; kann er 4 Werte annehmen, entsprechend (eine Schar von) 4 Funktionen und so weiter.

Alternative Begriffe: Funktionsscharen, Kurvenschar, Parameterfunktion, Schar, Scharfunktion.

Beispiel

Beispiel Funktionenschar

Eine Funktionenschar könnte so gebildet werden:

$f_k(x) = 3x + k$ mit k aus den Natürlichen Zahlen 1 bis einschließlich 100.

Dann wäre zum Beispiel

$$f_1(x) = 3x + 1$$

$$f_2(x) = 3x + 2$$

$$...$$

$$f_{100}(x) = 3x + 100$$

Die Funktionswerte sind dann je nach Parameter für gleiche x ganz unterschiedlich, zum Beispiel für x = 1:

$$f_1(1) = 3 \cdot 1 + 1 = 4$$

$$f_2(1) = 3 \cdot 1 + 2 = 5$$

$$...$$

$$f_{100}(1) = 3 \cdot 1 + 100 = 103$$

Man kann also den Funktionsverlauf einer Funktion mit einer Variablen x für verschiedene Parameter betrachten (im Beispiel erhält man 100 parallele Geraden).

Interpretation

Das kann man sich beispielsweise als einen Stromtarif vorstellen, bei dem alle Kunden 3 € je verbrauchter kWh (x) bezahlen und je nach Kundengruppe zusätzlich zwischen 1 € (k = 1) und 100 € (k = 100) Grundgebühr.

Gehört jemand zur „Kundengruppe 1“ (k = 1), kann bei bekanntem Stromverbrauch die Stromrechnung an der Funktion f1(x) = 3x + 1 abgelesen werden: bei 100 kWh Verbrauch wären das f1(100) = 3 × 100 + 1 = 301 €.

Hinweis: eine Funktionenschar mit einer Variablen und einem Parameter ist nicht dasselbe wie eine Funktion mit 2 Variablen. Im ersten Fall hat man mehrere Funktionsgraphen, im zweiten Fall nur einen.