Homogene Funktion

Homogene Funktion Definition

Eine homogene Funktion vom zum Beispiel Grad 2 bedeutet: erhöht man alle Variablen der Funktion proportional um einen Faktor (zum Beispiel alle Variablen werden verdoppelt oder verdreifacht), erhöht sich der Funktionswert um den "Faktor hoch den Grad".

Beispiel

Beispiel: Homogene Funktion

Die Funktion f(x, y) = x2 + y2 ist homogen vom Grad 2, denn:

f(2x, 2y) = (2x)2 + (2y)2 = 4x2 + 4y2 = 4(x2 + y2), also 22 = 4 mal die ursprüngliche Funktion (und das gilt analog, wenn statt 2 ein beliebiger anderer Faktor verwendet wird).

Mit Beispielzahlen:

f(1, 2) = 12 + 22 = 1 + 4 = 5.

Verdoppelt man x und y:

f(2, 4) = 22 + 42 = 4 + 16 = 20. Das ist das 22 bzw. 4-fache von 5.

Verdreifacht man x und y:

f(3, 6) = 32 + 62 = 9 + 36 = 45. Das ist das 32 bzw. 9-fache von 5.

Kennt man also beispielsweise den Homogenitätsgrad einer Produktionsfunktion, kann man schnell ausrechnen, wie sich eine Erhöhung des Inputs auf den Output auswirkt.

Man kann sich leicht vorstellen, dass es eine Funktion vom Homogenitätsgrad 2 wie im Beispiel (oder nicht höher) als Produktionsfunktion nur selten geben dürfte.

Das hieße ja beispielsweise, dass man mit 1 Arbeitsstunde eines Malers und 2 Litern Farbe (Input) 5 qm Wand gestrichen (Output) bekommt; und mit der Verdopplung des Inputs (also 2 Arbeitsstunden und 4 Liter Farbe) bereits das Vierfache, also 20 qm. So ist es in der Regel nicht …

Der Homogenitätsgrad ist in der Realität oft eher 1; das heißt, eine Verdopplung des Inputs führt zu einer Verdopplung des Outputs.