Definition
Eine konstante Funktion hat für alle x aus dem Definitionsbereich denselben Funktionswert:
f(x) = c
c steht dabei für Konstante (c kann beispielsweise 3 oder 100 oder -5,77 sein).
Also: egal, was man für x einsetzt – als Ergebnis bzw. Funktionswert kommt immer die Konstante c heraus.
Der Funktionsgraph einer konstanten Funktion ist eine zur waagrechten x-Achse parallele Gerade (falls die Konstante 0 ist, also die konstante Funktion f(x) = 0 ist, liegt sie auf der x-Achse).
Beispiel
Beispiel: Konstante Funktion
Folgende Funktion KF spiegelt die Fixkosten eines Unternehmens wider (zum Beispiel die Standgebühr für einen Glühweinstand auf dem Weihnachtsmarkt):
KF(x) = 100.
Dabei ist x die Verkaufs- oder Produktionsmenge (Glühweine).
Die konstante Funktion bedeutet: unabhängig von der Menge x der verkauften Glühweine fallen 100 € Fixkosten an.
Konstante Funktion Ableitung
Die 1. Ableitung einer konstanten Funktion ist 0:
f’(x) = 0
Der Funktionsgraph verläuft wie oben gesagt parallel zur x-Achse (oder auf der x-Achse für f(x) = 0) und damit waagrecht; die Steigung, welche die 1. Ableitung widerspiegelt, ist also 0.
Fazit
- f(x) = c – die konstante Funktion liefert für jeden x-Wert denselben Funktionswert c, unabhängig von x
- Der Graph ist eine Gerade parallel zur x-Achse; bei c = 0 liegt sie auf der x-Achse selbst
- Ökonomische Anwendung: Fixkosten (z. B. Miete, Versicherung) sind konstante Funktionen der Produktions- oder Verkaufsmenge
- Die 1. Ableitung ist stets 0: f′(x) = 0, da sich der Funktionswert bei keiner Änderung von x verändert
Selbsttest: Konstante Funktion
Aufgabe: Konstante Funktion
Ein Betrieb zahlt monatlich 1.200 € Miete, unabhängig von der produzierten Menge.
Stellen Sie die Kostenfunktion K(x) auf, berechnen Sie K(300) und bestimmen Sie K′(x).
Kostenfunktion: K(x) = 1.200 € (konstant für alle x ≥ 0)
Funktionswert: K(300) = 1.200 € – die Miete ändert sich nicht mit der Menge
Ableitung: K′(x) = 0 – eine konstante Funktion hat keine Steigung