Kapitalwertfunktion
Kapitalwertfunktion Definition
In der Regel hat man die Zahlungsreihe einer Investition mit Aus- und Einzahlungen und einen Kalkulationszinssatz und berechnet damit einen Kapitalwert.
Möchte man aber den Kapitalwert einer Zahlungsreihe abhängig vom Zinssatz darstellen, benötigt man die Kapitalwertfunktion.
Beispiel
Beispiel: Kapitalwertfunktion aufstellen und zeichnen
Eine Zahlungsreihe bestehe nur aus der Auszahlung Z0 = -100 € zum Zeitpunkt t = 0 und einer Einzahlung Z1 = 110 € zum Zeitpunkt t = 1.
Der Kalkulationszinssatz i sei 8 %.
Der Kapitalwert (KW) ist dann: KW = -100 + 110/1,08 = -100 + 101,85 = 1,85 €.
Setzt man den Zinssatz i nicht bei 8 % fest, sondern lässt ihn variabel, ergibt sich die Kapitalwertfunktion:
$$KW (i) = \sum_{t = 0}^1 \frac{Z_t}{(1 + i)^t}$$
Bildet man die Funktion grafisch ab, kann man sehen, bei welchen Zinssätzen der Kapitalwert positiv ist (die Investition sich lohnt) und bei welchen Zinssätzen der Kapitalwert negativ ist (die Investition sich nicht lohnt).
Die Kapitalwertfunktion zeigt die Kapitalwerte für verschiedene Zinssätze an
In der obigen Grafik wurden Zinssätze von 5 % bis 12 % eingetragen; das lässt sich natürlich innerhalb realistischer Bandbreiten beliebig erweitern.
Zur Kontrolle können wir noch zwei Kapitalwerte für 10 % und 12 % berechnen:
KW (0,10) = -100 + 110/1,1 = -100 + 100 = 0,00 €.
KW (0,12) = -100 + 110/1,12 = -100 + 98,21 = -1,79 €.
Bei Normalinvestitionen (Investitionen mit Auszahlungen am Anfang und danach nur Einzahlungen, so wie auch im Beispiel) fällt die Kapitalwertfunktion monoton (mit steigendem Zinssatz).
Die Nullstelle der Kapitalwertfunktion ist der interne Zinsfuß (der Zinssatz, für den der Kapitalwert einer Zahlungsreihe 0 ist).
Das ist im obigen Beispiel der Zinssatz 10 %.