Kontraposition

Kontraposition Definition

Eine Aussage kann ggf. auch über eine Kontraposition bewiesen werden. Der Beweis läuft dann über den Umkehrschluss.

Beispiele

Die Aussage sei "Wenn man gehüpft ist, hat man den Boden verlassen." Die dazugehörige Kontraposition ist: "Wenn man den Boden nicht verlassen hat, ist man nicht gehüpft.".

Das kann sinnvoll sein, wenn man das eine schwer nachweisen kann, das anderer einfacher.

Angenommen, es soll die Aussage bewiesen werden: "Ist das Produkt a × b aus zwei natürlichen Zahlen a und b nicht durch 3 teilbar, sind a und b nicht durch 3 teilbar.".

Die Kontraposition dazu ist: "Wenn a oder b durch 3 teilbar ist, ist a × b durch 3 teilbar.". Wenn man diese Kontraposition beweisen kann, ist damit die ursprüngliche Aussage bewiesen.

Beweis für die Kontraposition-Aussage: Wenn z.B. a durch 3 teilbar ist, gibt es eine natürliche Zahl c, für die gilt: a = 3 × c. Daraus folgt: a × b = 3 × c × b. Das ist auf jeden Fall durch 3 teilbar (der Faktor 3 fällt dann weg und es bleibt c × b übrig).

Analog für b: Wenn b durch 3 teilbar ist, gibt es eine natürliche Zahl c, für die gilt: b = 3 × c. Daraus folgt: a × b = a × 3 × c. Auch das ist auf jeden Fall durch 3 teilbar.

Es reicht also aus, dass a oder b durch 3 teilbar ist, damit das Produkt aus a und b durch 3 teilbar ist.