Kovarianzmatrix

Beispiel: Kovarianzmatrix aufstellen

Es gibt 2 Aktien A und B, für die jeweils 1) die erwartete Rendite und 2) die Varianz bekannt sind (oder wie hier berechnet werden).

Angenommen, die Rendite für A sei 2 % bei schlechter Konjunktur und 4 % bei guter Konjunktur und gute und schlechte Konjunktur sind mit jeweils 50 % gleichwahrscheinlich.

Analog für B: die Rendite für B sei 1 % bei schlechter Konjunktur und 5 % bei guter Konjunktur.

Erwartete Rendite berechnen

Die erwartete Rendite von A ist: 0,5 × 2 % + 0,5 × 4 % = 1 % + 2 % = 3 %.

Die erwartete Rendite von B ist: 0,5 × 1 % + 0,5 × 5 % = 0,5 % + 2,5 % = 3 %.

Varianz berechnen

Die Varianz ist ein Streuungsparameter, der angibt wie stark die (Rendite der) Aktie schwankt.

Varianz A = 1/2 × [(2 - 3)² + (4 - 3)²] = 1

Varianz B = 1/2 × [(1 - 3)² + (5 - 3)²] = 4

Beide Aktien haben dieselbe erwartete Rendite von 3 %; B schwankt aber zwischen 1 und 5 % und damit mehr als A zwischen 2 % und 4 %. Das Risiko bei B ist größer (im schlechtesten Fall hat man nur 1 % Rendite), das spiegelt die höhere Varianz von B mit 4 gegenüber A mit 1 wider.

Kovarianz berechnen

Die Kovarianz misst den (linearen) Zusammenhang zwischen zwei Variablen, hier zwischen den Aktien A und B.

$$Cov \, (A, B) = $$

$$\frac{[(2 - 3) \cdot (1 - 3) + (4 - 3) \cdot (5 - 3)]}{2}$$

$$= \frac{2 + 2}{2} = 2$$

Eine positive Kovarianz (> 0) bedeutet, dass sich beide Aktien in dieselbe Richtung bewegen (steigt A, steigt auch B und umgekehrt).

Das ist hier der Fall: bei guter Konjunktur gehen beide Renditen nach oben, bei schlechter beide nach unten.

Eine negative Kovarianz (< 0) bedeutet, dass sich beide Aktien entgegengesetzt bewegen (steigt A, fällt B und umgekehrt).

Kovarianzmatrix erstellen

Die Kovarianzmatrix sieht dann so aus:

Dabei sind in den „Feldern“ (A, A) und (B, B) die jeweiligen Varianzen eingetragen und in den Feldern (A, B) und (B, A) die Kovarianz (deshalb alternativ auch Varianz-Kovarianz-Matrix genannt).