Kovarianzmatrix
Kovarianzmatrix Definition
Die Kovarianzmatrix (auch Varianz-Kovarianz-Matrix genannt) ist eine quadratische Matrix, also eine Matrix / Tabelle mit gleich vielen Zeilen und Spalten.
Sie enthält für zwei oder mehr Merkmale / Variablen
- die Varianzen (also ein Streuungsmaß der einzelnen Variablen) und
- Kovarianzen (ein Zusammenhangsmaß zwischen verschiedenen Variablen).
Beispiel
Beispiel: Kovarianzmatrix aufstellen
Es gibt 2 Aktien A und B, für die jeweils 1) die erwartete Rendite und 2) die Varianz bekannt sind (oder wie hier berechnet werden).
Angenommen, die Rendite für A sei 2 % bei schlechter Konjunktur und 4 % bei guter Konjunktur und gute und schlechte Konjunktur sind mit jeweils 50 % gleichwahrscheinlich.
Analog für B: die Rendite für B sei 1 % bei schlechter Konjunktur und 5 % bei guter Konjunktur.
Erwartete Rendite berechnen
Die erwartete Rendite von A ist: 0,5 × 2 % + 0,5 × 4 % = 1 % + 2 % = 3 %.
Die erwartete Rendite von B ist: 0,5 × 1 % + 0,5 × 5 % = 0,5 % + 2,5 % = 3 %.
Varianz berechnen
Die Varianz ist ein Streuungsparameter, der angibt wie stark die (Rendite der) Aktie schwankt.
Varianz A = 1/2 × [(2 - 3)2 + (4 - 3)2] = 1
Varianz B = 1/2 × [(1 - 3)2 + (5 - 3)2] = 4
Beide Aktien haben dieselbe erwartete Rendite von 3 %; B schwankt aber zwischen 1 und 5 % und damit mehr als A zwischen 2 % und 4 %.
Das Risiko und generell die Schwankung bei B ist größer (im schlechtesten Fall hat man nur 1 % Rendite, im besten Fall 5 %), das spiegelt die höhere Varianz von B mit 4 gegenüber A mit 1 wider.
Kovarianz berechnen
Die Kovarianz misst den (linearen) Zusammenhang zwischen zwei Variablen, hier zwischen den Aktien A und B.
Die Formel lautet allgemein (mit Cov für Covariance):
Cov (x, y) = [ ∑ (x - ∅ x) × (y - ∅ y) ] / n.
Dabei ist ∅ x bzw. ∅ y der arithmetische Mittelwert (Durchschnitt) von x (hier die Aktie A) bzw. y (hier die Aktie B), n ist die Anzahl der untersuchten Merkmalsträger (hier 2) und die Aufsummierung ∑ erfolgt für die x bzw. y von 1 bis n.
Auf die Werte für die Aktien im Beispiel bezogen:
$$Cov \, (A, B) = $$
$$\frac{[(2 - 3) \cdot (1 - 3) + (4 - 3) \cdot (5 - 3)]}{2}$$
$$= \frac{2 + 2}{2} = 2$$
Eine positive Kovarianz (> 0) bedeutet, dass sich beide Aktien in dieselbe Richtung bewegen (steigt A, steigt auch B und umgekehrt).
Das ist hier der Fall: bei guter Konjunktur gehen beide Renditen nach oben, bei schlechter beide nach unten.
Eine negative Kovarianz (< 0) bedeutet, dass sich beide Aktien entgegengesetzt bewegen (steigt A, fällt B und umgekehrt).
Kovarianzmatrix erstellen
Die Kovarianzmatrix sieht dann so aus:
| A | B | |
|---|---|---|
| A | 1 | 2 |
| B | 2 | 4 |
Dabei sind in den „Feldern“ (A, A) und (B, B) die jeweiligen Varianzen eingetragen und in den Feldern (A, B) und (B, A) die Kovarianz (deshalb alternativ auch Varianz-Kovarianz-Matrix genannt).