Pearson-Korrelationskoeffizient Definition
Der Pearson-Korrelationskoeffizient dient der Messung eines Zusammenhangs zweier Variablen; er basiert auf 2 Voraussetzungen:
- es handelt sich um 2 metrische Merkmale / Variablen;
- es wird ein (zumindest näherungsweise) linearer Zusammenhang zwischen den beiden Variablen unterstellt (liegt ein nichtlinearer Zusammenhang vor – zum Beispiel ein quadratischer oder exponentieller Zusammenhang – funktioniert der Pearson-Korrelationskoeffizient nicht sinnvoll; in dem Fall wäre der Spearman-Korrelationskoeffizient eine Alternative).
Die Pearson-Korrelation liegt im Bereich -1 bis 1.
Die 1 bedeutet eine positive und äußerst hohe (perfekte) lineare Korrelation, die -1 eine perfekte negative (gegenläufige) Korrelation und 0 bedeutet, es gibt keinen linearen Zusammenhang zwischen den Variablen.
Alternative Begriffe: Bravais-Pearson-Korrelationskoeffizient, lineare Korrelation, Produkt-Moment-Korrelation.
Formel
Als Formel:
$$r_{xy} = \frac{Cov(x,y)} {\sigma_x \cdot \sigma_y}$$
In Worten:
Die Kovarianz wird durch das Produkt der beiden Standardabweichungen geteilt, um den Pearson-Korrelationskoeffizienten zu erhalten.
Beispiel
Beispiel: Pearson-Korrelationskoeffizienten berechnen
In Fortführung des Beispiels zur Kovarianz:
Schritt 1: Kovarianz berechnen
Die 3 Milchbauern Anton, Bernd und Claus hatten im Beispiel zur Kovarianz folgende Anzahl von Kühen und folgende tägliche Milchmengen.
| Anton | Bernd | Claus | |
|---|---|---|---|
| Anzahl der Milchkühe | 1 | 2 | 3 |
| Tägliche Milchproduktion (Liter) | 30 | 60 | 90 |
| Abweichung der Anzahl der Kühe vom Durchschnitt | -1 | 0 | 1 |
| Abweichung der Milchproduktion vom Durchschnitt | -30 | 0 | 30 |
| Produkt der Abweichungen | 30 | 0 | 30 |
Das arithmetische Mittel der Anzahl der Kühe war (1 + 2 + 3) / 3 = 2 und das arithmetische Mittel der Milchleistung war (30 + 60 + 90 Liter) / 3 = 60 Liter.
Die Frage war: Gibt es einen Zusammenhang zwischen der Anzahl der Kühe und der Milchproduktion? (der – lineare – Zusammenhang ist hier natürlich sehr offensichtlich)
Die 3 Abweichungsprodukte werden aufaddiert: 30 + 0 + 30 = 60; anschließend durch die Anzahl der Merkmalsträger (3 Milchbauern) geteilt: 60 / 3 = 20.
Die Kovarianz ist also 20.
Schritt 2: Standardabweichungen berechnen
Es werden zunächst die jeweilige Varianz als mittlere quadratische Abweichung vom Mittelwert und die Standardabweichung als Quadratwurzel der Varianz ermittelt:
- für die Anzahl der Kühe: Varianz = [ (1 -2) 2 + (2 - 2) 2 + (3 - 2) 2 ] / 3 = (1 + 0 + 1) / 3 = 2/3. Die Standardabweichung als Quadratwurzel der Varianz ist dann 0,8165 (auf 4 Nachkommastellen gerundet);
- für die Milchleistung: Varianz = [ (30 - 60) 2 + (60 - 60) 2 + (90 -60) 2 ] / 3 = (900 + 0 + 900) / 3 = 1.800 / 3 = 600. Die Standardabweichung als Quadratwurzel der Varianz ist 24,495 (auf 3 Nachkommastellen gerundet).
Schritt 3: Pearson-Korrelationskoeffizienten berechnen
Nun wird die Kovarianz von 20 durch das Produkt aus 0,8165 und 24,495 geteilt:
$$r_{xy} = \frac{20}{0,8165 \cdot 24,495} = \frac{20}{20} = 1$$
Interpretation
Positive Korrelation
Mittels der Teilung durch das Produkt aus den Standardabweichungen erfolgt eine Normierung und das Ergebnis ist aussagekräftig: die Korrelationswerte liegen durch die Standardisierung im Bereich -1 bis 1 und die 1 bedeutet eine positive und äußerst hohe (perfekte) lineare Korrelation (in einem Streudiagramm lägen die 3 Daten auf einer Geraden).
Keine Korrelation
Ein Pearson-Korrelationskoeffizient von 0 würde bedeuten, dass es keinen linearen Zusammenhang zwischen den beiden Merkmalen gibt (es könnte aber ein anderer, nicht-linearer Zusammenhang bestehen).
Negative Korrelation
Ein Wert Richtung -1 (zum Beispiel -0,8) bedeutet, dass sich die beiden Merkmale gegensätzlich entwickeln.
Das wäre hier der Fall, wenn die Milchmenge mit der Anzahl der Kühe abnehmen würde (was unsinnig wäre).
Ein Pearson-Korrelationskoeffizient von -1 würde bedeutet, dass sich die beiden Merkmale vollkommen gegensätzlich entwickeln (perfekt negative Korrelation bzw. perfekt inverse Korrelation).
Selbsttest: Korrelationskoeffizient Pearson
Aufgabe: Pearson-Korrelationskoeffizient berechnen
Für 4 Studierende wurden Lernstunden pro Tag (x) und Klausurergebnis in Punkten (y) erhoben:
| S1 | S2 | S3 | S4 | |
|---|---|---|---|---|
| Lernstunden x | 2 | 4 | 6 | 8 |
| Klausurergebnis y | 4 | 8 | 6 | 10 |
Die Daten bilden die Grundgesamtheit. Berechnen Sie den Pearson-Korrelationskoeffizienten rxy und interpretieren Sie das Ergebnis.
Schritt 1 – Mittelwerte:
x̄ = (2 + 4 + 6 + 8) / 4 = 20 / 4 = 5
ȳ = (4 + 8 + 6 + 10) / 4 = 28 / 4 = 7
Schritt 2 – Kovarianz:
S1: (2−5)·(4−7) = (−3)·(−3) = 9
S2: (4−5)·(8−7) = (−1)·(1) = −1
S3: (6−5)·(6−7) = (1)·(−1) = −1
S4: (8−5)·(10−7) = (3)·(3) = 9
Cov(x,y) = (9 − 1 − 1 + 9) / 4 = 16 / 4 = 4
Schritt 3 – Standardabweichungen:
σx2 = [(−3)2 + (−1)2 + 12 + 32] / 4 = (9+1+1+9) / 4 = 20 / 4 = 5 → σx = √5
σy2 = [(−3)2 + 12 + (−1)2 + 32] / 4 = (9+1+1+9) / 4 = 20 / 4 = 5 → σy = √5
Schritt 4 – Pearson-Koeffizient:
rxy = Cov(x,y) / (σx · σy) = 4 / (√5 · √5) = 4 / 5 = 0,8
Probe: σx · σy = √5 · √5 = 5 > 0 ✓ rxy = 0,8 ∈ [−1; 1] ✓
Interpretation: rxy = 0,8 > 0 → starker positiver linearer Zusammenhang: mehr Lernstunden gehen tendenziell mit höherem Klausurergebnis einher.
Rechner: Pearson-Korrelationskoeffizient
Geben Sie die Wertepaare (x, y) ein. Der Rechner berechnet rxy schrittweise.
Zwischenergebnisse
| i | xi | yi | (xi−x̅) | (yi−ȳ) | (xi−x̅)(yi−ȳ) | (xi−x̅)2 | (yi−ȳ)2 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Summe | Σ = | Σ = | Σ = | ||||
Ergebnis
| n | |
| x̅ (Mittelwert x) | |
| ȳ (Mittelwert y) | |
| Cov(x,y) = Σ(xi−x̅)(yi−ȳ) / n | |
| σx = √[Σ(xi−x̅)² / n] | |
| σy = √[Σ(yi−ȳ)² / n] | |
| rxy = Cov(x,y) / (σx · σy) |