De Morgansche Regeln

Beispiel 1: Erste De Morgansche Regel

Die Grundmenge sei {1, 2, 3, 4, 5, 6}, zum Beispiel die Augenzahlen eines Würfels.

Die Menge A als eine Teilmenge davon sei {1, 3, 5}, die ungeraden Augenzahlen.

Die Menge B als eine Teilmenge davon sei {4, 5, 6}, die Augenzahlen >= 4.

Dann gilt nach der ersten De Morganschen Regel:

$$\overline {A \cup B} = \overline A \cap \overline B $$

Mit Zwischenschritten:

Vereinigungsmenge bilden:

$${A \cup B} = \{1, 3, 5\} \cup \{4, 5, 6\}$$

$$= \{1, 3, 4, 5, 6\}$$

Das Komplement dieser Vereinigungsmenge ist die Grundmenge ohne die Vereinigungsmenge:

$$\overline {A \cup B} = \{2\}$$

Das soll der rechten Seite der ersten Regel entsprechen:

$$\overline {A} = \{2, 4, 6\}$$

$$\overline {B} = \{1, 2, 3\}$$

$$\overline A \cap \overline B = \{2, 4, 6\} \cap \{1, 2, 3\} = \{2\}$$

Beispiel 2: Zweite De Morgansche Regel

Nach der zweiten De Morganschen Regel gilt:

$$\overline {A \cap B} = \overline A \cup \overline B $$

Mit Zwischenschritten:

Schnittmenge bilden:

$${A \cap B} = \{1, 3, 5\} \cap \{4, 5, 6\} = \{5\}$$

Nun das Komplement bilden:

$$\overline {A \cap B} = \{1, 2, 3, 4, 6\}$$

Auf der rechten Seite der zweiten Regel haben wir:

$$\overline {A} = \{2, 4, 6\}$$

$$\overline {B} = \{1, 2, 3\}$$

Nun diese beiden vereinigen:

$$\overline A \cup \overline B = \{1, 2, 3, 4, 6\}$$

Linke und rechte Seite stimmen überein.