LGS grafisch lösen: Schnittpunkt der Geraden bestimmen

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Definition

Lineare Gleichungssysteme aus 2 (oder mehr) linearen Gleichungen lassen sich lösen, indem die Funktionsgeraden eingezeichnet werden: der Schnittpunkt ist die Lösung.

Beispiel

Beispiel: LGS grafisch lösen

Die beiden Gleichungen I und II im Beispiel für lineare Gleichungssysteme waren:

I: x + y = 3

II: 2x - 2y = -2

Etwas umgeformt, um y zu isolieren:

I: y = -x + 3

II: y = x + 1

Die allgemeine Geradengleichung ist $y = m \cdot x + b$.

Bei Gleichung I ist die (negative) Steigung m = -1 und der y-Achsenabschnitt b ist 3. Man zeichnet beginnend beim y-Achsenabschnitt 3 eine abfallende Gerade mit Steigung - 1, d.h. durch Punkte ein Kästchen nach rechts und 1 Kästchen nach unten, zwei Kästchen nach rechts und 2 Kästchen nach unten usw.

Bei Gleichung II ist die (positive) Steigung m = 1 und der y-Achsenabschnitt b ist 1. Man zeichnet beginnend beim y-Achsenabschnitt 1 eine ansteigende Gerade mit Steigung 1, d.h. durch Punkte ein Kästchen nach rechts und 1 Kästchen nach oben, zwei Kästchen nach rechts und 2 Kästchen nach oben usw.

Der Schnittpunkt der beiden Geraden ist bei x = 1 und y = 2.

Grafische Lösung: I y=−x+3 und II y=x+1, Schnittpunkt bei x=1, y=2

Fazit

Zum grafischen Lösen werden die Gleichungen in die Geradenform y = m · x + b umgeschrieben und die Geraden eingezeichnet.
Der Schnittpunkt der Geraden entspricht der Lösung des LGS (x-Koordinate = Wert von x, y-Koordinate = Wert von y).
Parallele Geraden (gleiche Steigung, verschiedener y-Achsenabschnitt) schneiden sich nicht → keine Lösung.
Identische Geraden (gleiche Steigung und gleicher y-Achsenabschnitt) → unendlich viele Lösungen.

Selbsttest: LGS grafisch lösen

In welche Form müssen die Gleichungen gebracht werden, um die Geraden direkt einzeichnen zu können?

y = m · x + b (Geradengleichung mit Steigung und y-Achsenabschnitt)

ax + b = 0 (Normalform)

y = ax² + bx + c (Parabelform)

x = m · y + b

Was repräsentiert der Schnittpunkt zweier Geraden in der grafischen LGS-Lösung?

Den y-Achsenabschnitt der ersten Geraden

Die Lösung des LGS (die Werte von x und y)

Die Steigung der zweiten Geraden

Den Mittelpunkt beider Geraden

Zwei Geraden verlaufen parallel (gleiche Steigung, verschiedene y-Achsenabschnitte). Was bedeutet das für das LGS?

Es hat genau eine Lösung

Es hat unendlich viele Lösungen

Es hat genau zwei Lösungen

Es hat keine Lösung (die Geraden schneiden sich nicht)

Wenn zwei Geraden identisch sind (völlig aufeinander liegen), wie viele Lösungen hat das LGS?

Keine Lösung

Genau eine Lösung

Unendlich viele Lösungen (jeder Punkt der Geraden ist eine Lösung)

Genau zwei Lösungen

Nochmal versuchen

Aufgabe: LGS grafisch lösen

Gegeben sind die Gleichungen:

I: x + 2y = 6
II: x − y = 0

a) Formen Sie beide Gleichungen in die Geradenform y = m · x + b um.
b) Zeichnen Sie die Geraden in ein Koordinatensystem und lesen Sie den Schnittpunkt (= Lösung des LGS) grafisch ab.

Lösung anzeigen

a) Umformung in Geradenform:

I: x + 2y = 6 ⇒ y = −½x + 3 (m = −½, b = 3)

II: x − y = 0 ⇒ y = x (m = 1, b = 0)

b) Grafische Lösung:

Grafische Lösung: I y=−½x+3 und II y=x, Schnittpunkt bei x=2, y=2

Der Schnittpunkt der beiden Geraden liegt bei x = 2, y = 2.

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