Definition
Lineare Gleichungssysteme (kurz: LGS) bestehen aus 2 oder mehr linearen Gleichungen mit 2 oder mehr Variablen.
Beispiel
Beispiel (2 Gleichungen mit 2 Variablen x und y)
$$x + y = 3$$
$$2x - 2y = -2$$
Die Lösungen sind x = 1 und y = 2. Damit stimmen beide Gleichungen:
$$1 + 2 = 3$$
$$2 \cdot 1 - 2 \cdot 2 = 2 - 4 = -2$$
Man unterscheidet zwischen einem homogenen linearen Gleichungssystem, bei dem die Werte auf der rechten Seite alle 0 sind und einem inhomogenen Gleichungssystem, bei dem mindestens ein Wert auf der rechten Seite ungleich 0 ist (wie im Beispiel).
Ein lineares Gleichungssystem kann 1) keine Lösung haben, 2) genau eine Lösung (wie im Beispiel oben) oder 3) unendlich viele Lösungen. Wenn man zwei Gleichungen grafisch abbildet, können diese parallel verlaufen (keine Lösung), sich in einem Punkt schneiden (genau eine Lösung) oder aufeinander liegen (unendlich viele Lösungen).
Hat das LGS mindestens eine Lösung (d.h. eine oder unendlich viele), heißt es konsistent oder lösbar. Hat es keine Lösung, heißt es inkonsistent oder unlösbar.
Methoden
Es gibt zahlreiche Methoden, lineare Gleichungssysteme zu lösen, z.B.
Fazit
- Ein LGS besteht aus mindestens zwei linearen Gleichungen mit mindestens zwei Variablen; gesucht sind Werte, die alle Gleichungen gleichzeitig erfüllen.
- Mögliche Lösungsmengen: keine Lösung (inkonsistent), genau eine Lösung oder unendlich viele Lösungen.
- Sind alle rechten Seiten gleich 0, heißt das LGS homogen; hat mindestens eine rechte Seite einen Wert ≠ 0, ist es inhomogen.
- Lösungsverfahren: Additions-, Einsetzungs-, Gleichsetzungsverfahren, Gauß-Algorithmus und grafische Methode.
Selbsttest: Lineare Gleichungssysteme
Aufgabe: Lösung prüfen und LGS klassifizieren
Gegeben ist das LGS:
I: 2x − y = 1
II: x + y = 5
a) Überprüfen Sie durch Einsetzen, ob x = 2, y = 3 eine Lösung des LGS ist.
b) Klassifizieren Sie das LGS: homogen oder inhomogen? Konsistent oder inkonsistent?
a) Einsetzen von x = 2, y = 3:
I: 2 · 2 − 3 = 4 − 3 = 1 ✓
II: 2 + 3 = 5 ✓
Beide Gleichungen sind erfüllt → x = 2, y = 3 ist eine Lösung.
b) Klassifizierung:
Inhomogen (rechte Seiten 1 ≠ 0 und 5 ≠ 0); konsistent (mindestens eine Lösung).