Definition
Ein homogenes lineares Gleichungssystem (kurz: homogenes LGS) ist ein Gleichungssystem, bei dem die Seiten rechts vom Gleichheitszeichen alle Null sind.
Ein homogenes LGS hat immer mindestens eine Lösung, die sogenannte triviale Lösung, nämlich: alle Variablen des Systems sind gleich 0.
Beispiel
Beispiel: Homogenes LGS
Ein Gleichungssystem mit 2 Gleichungen und 2 Unbekannten x und y:
x + y = 0
2x - 2y = 0
Setzt man alle Variablen, also hier x und y, gleich 0, erhält man:
0 + 0 = 0
2 × 0 - 2 × 0 = 0
Und das stimmt natürlich und funktioniert so auch immer.
Fazit
- Ein homogenes LGS hat auf der rechten Seite aller Gleichungen den Wert 0.
- Es besitzt stets mindestens die triviale Lösung: alle Variablen sind gleich 0.
- Darüber hinaus kann es nichttriviale Lösungen geben, wenn das System unterbestimmt ist (z. B. mehr Variablen als unabhängige Gleichungen).
- Das Gegenstück ist das inhomogene LGS (mindestens eine rechte Seite ≠ 0), das auch unlösbar sein kann.
Selbsttest: Homogenes lineares Gleichungssystem
Aufgabe: Triviale und nichttriviale Lösung
Gegeben ist das homogene LGS:
I: x − y = 0
II: 2x − 2y = 0
a) Überprüfen Sie, dass x = 0, y = 0 (triviale Lösung) beide Gleichungen erfüllt.
b) Bestimmen Sie eine weitere (nichttriviale) Lösung.
a) Triviale Lösung (x = 0, y = 0):
I: 0 − 0 = 0 ✓ II: 2 · 0 − 2 · 0 = 0 ✓
b) Nichttriviale Lösung:
Gleichung II ist das Zweifache von I (linear abhängig) → das System hat unendlich viele Lösungen.
Aus I: x = y. Sei y = 1, dann x = 1.
Probe: I: 1 − 1 = 0 ✓ II: 2 − 2 = 0 ✓
Ergebnis: Jedes Wertepaar (x, y) mit x = y ist eine Lösung (z. B. x = 1, y = 1).