Logarithmus Basiswechsel
Definition
Der Taschenrechner kann Logarithmen oft nur für zwei Basen berechnen; für
- den dekadischen Logarithmus zur Basis 10, zum Beispiel log10 1.000 = 3 (1.000 eingeben und die LOG-Taste drücken) und
- den natürlichen Logarithmus zur Basis e (der Eulerschen Zahl 2,71828 ...), zum Beispiel loge 2 = 0,69315 (gerundet; 2 eingeben und die LN-Taste drücken); dieser wird oft mit ln abgekürzt, also ln 2 für loge 2.
Andere Logarithmen, beispielsweise zur Basis 3, kann man also nicht direkt mit dem Taschenrechner berechnen – aber indirekt über einen Umweg, den Basiswechsel.
Alternative Begriffe: Basistransformation Logarithmus, Basiswechsel log, Basiswechsel Logarithmus, Basiswechselsatz, log Basiswechsel, Logarithmen Basiswechsel.
Beispiel
Es soll ein Logarithmus zur Basis 3 berechnet werden:
log3 81
Das Ergebnis ist 4 (weil 34 = 81).
Um das mit dem Taschenrechner zu berechnen, führt man einen Basiswechsel durch, ersetzt also die Basis, die nicht geht (im Beispiel 3) durch eine Basis, die geht (also e oder 10).
Basiswechsel: natürlicher Logarithmus
Mit dem natürlichen Logarithmus:
log3 81 = ln 81 / ln 3 = 4
Die allgemeine Formel dazu lautet:
loga b = ln b / ln a
Basiswechsel: Zehnerlogarithmus
Mit dem Zehnerlogarithmus:
log3 81 = log10 81 / log10 3 = 4
Die allgemeine Formel dazu lautet:
loga b = log10 b / log10 a
Wiederholung / Zusammenfassung
Der ganze Weg im Beispiel geht so:
Wir suchen eine Zahl x, für die gilt:
3x = 81 (allgemein: ax = b; a ist hier 3 und b ist 81)
Bei diesem einfachen Beispiel haben wir schon ein Gefühl für die Lösung 4; normalerweise bei nicht so schönen Zahlen aber nicht.
Um x herauszufinden, bilden wir den Logarithmus:
x = log3 81 (allgemein: x = loga b)
Da wir dies in vielen Taschenrechnern so direkt nicht eingeben können, muss ein Basiswechsel durchgeführt werden, zum Beispiel zum natürlichen Logarithmus:
log3 81 = ln 81 / ln 3 = 4
Kontrolle:
ax = b
34 = 81