Definition
Hat man zum Beispiel eine Gleichung 3x = 9 (allgemeine Form: ax = b) und möchte wissen, wie hoch x sein muss, damit die Gleichung aufgeht, kennt oder sieht man hier sofort die Lösung 2 (32 = 9).
In dem meisten Fällen kennt man sie aber nicht und der Logarithmus – als Umkehrfunktion der Exponentialfunktion – bringt dann die Lösung. Man schreibt:
logab = x (Logarithmus von b zur Basis a gleich x)
bzw. im Beispiel mit a = 3 und b = 9:
log39 = x (Logarithmus von 9 zur Basis 3 gleich x)
Die Frage "3 hoch welche Zahl ist 9?" kann man im Kopf ausrechnen, meistens wird aber der Taschenrechner benötigt.
Dieser kann in der Regel nur mit Logarithmen zur Basis 10 oder zur Basis e (und nicht wie im Beispiel zur Basis 3) rechnen, deshalb muss zunächst umgeformt werden (sogenannter Basiswechsel):
allgemein: logab = log10b / log10a
im Beispiel: log39 = log109 / log103 = 0,954242509 / 0,477121255 = 2.
Den Wert für log109 (Logarithmus von 9 zur Basis 10) = 0,954242509 erhält man, indem man auf dem Taschenrechner 9 und anschließend die LOG-Taste drückt; analog für log103 = 0,477121255 die 3 und die LOG-Taste.
Mit dem Logarithmus kann zum Beispiel berechnet werden, nach wie vielen Jahren sich das Kapital bei einem Zinssatz von beispielsweise 4 % und Zinseszinsen verdoppelt.
Alternative Begriffe: logarithmische Funktion, Logarithmusfunktion.
Lernziele
Nach diesem Abschnitt können Sie …
- Den Logarithmus loga b = x als Umkehrfunktion der Exponentialfunktion erklären
- Die Logarithmusgesetze für Addition, Subtraktion und Faktor anwenden
- Zwischen natürlichem Logarithmus (ln) und dekadischem Logarithmus (log) unterscheiden
- Einen Basiswechsel durchführen, um Logarithmen beliebiger Basis zu berechnen
- Logarithmische Skalen lesen und deren Einsatzgebiete benennen
Logarithmusgesetze / Logarithmusregeln
Mit den Logarithmengesetzen kann man – bei gleicher Basis – rechnen:
Beispiel: Logarithmen addieren
Allgemeine Formel
$$log_a A + log_a B = log_a (A \cdot B)$$
Beispiel
$$log_{10} 100 + log_{10} 1.000 = log_{10} (100 \cdot 1.000)$$
$$log_{10} 100 + log_{10} 1.000 = log_{10} 100.000$$
$$2 + 3 = 5$$
Beispiel: Logarithmen subtrahieren
Allgemeine Formel
$$log_a A - log_a B = log_a (\frac{A}{B})$$
Beispiel
$$log_{10} 100 - log_{10} 1.000 = log_{10} (\frac{100}{1.000})$$
$$log_{10} 100 - log_{10} 1.000 = log_{10} 0,1$$
$$2 - 3 = -1$$
Beispiel: Logarithmen mit Faktor
Allgemeine Formel
$$n \cdot log_a A = log_a (A^n)$$
Beispiel
$$3 \cdot log_{10} 100 = log_{10} (100^3)$$
$$3 \cdot log_{10} 100 = log_{10} 1.000.000$$
$$3 \cdot 2 = 6$$
Fazit
- loga b = x bedeutet: ax = b — der Logarithmus beantwortet „a hoch welche Zahl ergibt b?“
- Logarithmusgesetze (gleiche Basis): Addition → Produkt; Subtraktion → Quotient; Faktor n → Exponent n.
- Taschenrechner-Basen: ln (Basis e, LN-Taste) und log (Basis 10, LOG-Taste); andere Basen per Basiswechsel.
- Logarithmische Skala: gleicher Abstand = gleicher Faktor (statt gleicher Betrag) — ideal für große Wertebereiche.