Definition
Mit der Markov-Ungleichung (statt Markov findet man auch Markow oder Markoff) kann abgeschätzt werden, wie wahrscheinlich bzw. unwahrscheinlich es ist, dass eine Zufallsvariable stark nach oben (um ein Vielfaches) von ihrem Erwartungswert abweicht (zum Beispiel eine Mannschaft schießt 6 Tore statt der "üblichen" 2 in einem Spiel oder es kommen 1.000 Kunden am Tag in ein Geschäft statt wie sonst im Schnitt 250 Kunden).
Die Markov-Ungleichung dient lediglich einer Abschätzung und stellt keine exakte Wahrscheinlichkeitsberechnung dar. Sie basiert lediglich auf der Kenntnis des Erwartungswerts; kennt man zudem noch die Varianz als Streuungsparameter, kann die Tschebyscheff-Ungleichung angewandt werden.
Alternative Begriffe: Markov'sche Ungleichung, Markow-Ungleichung, Ungleichung von Markov.
Formel
P (X >= t) ≤ E(X)/t
In Worten:
Die Wahrscheinlichkeit P, dass die Zufallsvariable X größer gleich t ist, ist kleiner gleich dem Erwartungswert E(X) geteilt durch t.
Beispiel
Beispiel: Markov-Ungleichung berechnen
Der Erwartungswert für "Anzahl der Tore" einer Fußball-Mannschaft bei Heimspielen sei 2.
Abweichungen vom Erwartungswert nach oben
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Mannschaft zum Beispiel 6 Tore (also 3 mal so viel Tore wie im Schnitt zu erwarten) oder mehr in einem Heimspiel schießt?
P (X >= 6) = 2/6 = 1/3.
Die Wahrscheinlichkeit ist höchstens 1/3 = ca. 33 %.
Abweichungen nach unten (Gegenwahrscheinlichkeit)
Abweichungen nach unten können über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnet werden.
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Mannschaft weniger als 6 Tore schießt?
Die umgeformte Formel:
P (X t) >= 1 - (E(X)/t)
P (X 6) >= 1 - (2/6) = 1 - 1/3 = 2/3.
Die Wahrscheinlichkeit, dass 6 oder mehr Tore geschossen werden, war höchstens 1/3.
Die Gegenwahrscheinlichkeit ist 2/3 = ca. 67 %.
Mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens ca. 67 % werden weniger als 6 Tore geschossen.
Interpretation
Ein beispielhafter Blick hinter die Zahlen der Gleichung:
Nehmen wir mal an, der Erwartungswert von 2 Toren sei dadurch zustande gekommen, dass die Mannschaft „immer“ 3 Spiele hintereinander 0 Tore schießt und im darauffolgenden vierten Spiel dann 8 Tore.
Der Erwartungswert ist dann 3/4 × 0 Tore + 1/4 × 8 Tore = 2 Tore.
Und die Markov-Ungleichung oben hatte ja angegeben, dass die Wahrscheinlichkeit für 6 oder mehr Tore höchstens 33 % ist; hier wäre sie 25 % (in einem von 4 Spielen gibt es 6 oder mehr Tore – hier 8 Tore) und damit korrekterweise unter den 33 % (das ist natürlich noch kein Beweis für die Ungleichung).
Fazit
- Markov-Ungleichung: P(X ≥ t) ≤ E(X)/t — gibt eine obere Schranke für hohe Werte von X.
- Benötigt nur den Erwartungswert E(X), keine Varianz.
- Liefert eine Schätzung (Höchstwahrscheinlichkeit), keine exakte Wahrscheinlichkeit.
- Gegenwahrscheinlichkeit: P(X < t) ≥ 1 − E(X)/t.
- Anwendbar nur für nicht-negative Zufallsvariablen (X ≥ 0).
Selbsttest: Markov-Ungleichung
Aufgabe: Markov-Ungleichung anwenden
Der Erwartungswert der Krankheitstage eines Mitarbeiters pro Monat beträgt 3. Schätzen Sie mithilfe der Markov-Ungleichung ab: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit höchstens, dass ein Mitarbeiter in einem Monat 9 oder mehr Krankheitstage hat? Berechnen Sie außerdem die Gegenwahrscheinlichkeit.
Formel: P(X ≥ t) ≤ E(X)/t
Gegeben: E(X) = 3, t = 9
Einsetzen: P(X ≥ 9) ≤ 3/9 = 1/3 ≈ 33,3 %
Ergebnis: Die Wahrscheinlichkeit für 9 oder mehr Krankheitstage beträgt höchstens 33,3 %.
Gegenwahrscheinlichkeit: P(X < 9) ≥ 1 − 1/3 = 2/3 ≈ 66,7 %
Mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 66,7 % hat der Mitarbeiter weniger als 9 Krankheitstage.