Definition
Die Minimax-Regel ist ein mögliches Entscheidungskriterium bei Ungewissheit: Alternativen werden pessimistisch nach ihrem worst case beurteilt und es wird die Alternative mit dem maximalen Mindestergebnis ausgewählt.
Alternative Begriffe: Maximin-Regel, Mini-Max-Prinzip, Minimax-Prinzip, Wald-Regel.
Beispiele
Beispiel 1: Höchster Mindestgewinn
Es gebe 2 Lotterien mit jeweils 2 Losen (1 Niete, 1 Treffer) zur Auswahl (und wir tun hier wegen der Ungewissheit so, als ob die Wahrscheinlichkeiten für Niete und Treffer nicht bekannt sind, obwohl es jeweils 50 % sind), diese stellen die 2 Alternativen in der Entscheidungssituation dar:
- Lotterie 1: eine Niete mit 1 € Trostpreis und ein Treffer mit 20 € Hauptgewinn;
- Lotterie 2: eine Niete mit 2 € Trostpreis und ein Treffer mit 10 € Hauptgewinn.
| Alternative | Niete (worst case) | Treffer (best case) | Mindestergebnis |
|---|---|---|---|
| Lotterie 1 | 1 € | 20 € | 1 € |
| Lotterie 2 | 2 € | 10 € | 2 € ✓ |
Nach der Minimax-Regel würde man sich für die Lotterie 2 entscheiden: das Mindestergebnis – im worst case (Niete) – ist hier 2 € und damit maximal, verglichen mit nur 1 € bei Lotterie 1.
Man kann das Problem auch anders betrachten; zum Beispiel können statt Gewinnen Schadenshöhen verwendet werden.
Dann würde man nach der Minimax-Regel die Alternative wählen, die im schlimmsten Fall den geringsten Schaden verursacht.
Beispiel 2: Geringste Schadenshöhe
Man muss von Hamburg nach München fahren und kann sich zwischen Auto und Zug entscheiden. Es könnte laut Wetterbericht schneien.
Auto: geschätzte Fahrzeit bei normalem Wetter 6 Stunden, bei Schnee 10 Stunden.
Zug: geschätzte Fahrzeit bei normalem Wetter 8 Stunden, bei Schnee 9 Stunden.
Wenn man jetzt die Fahrzeit als Schaden betrachtet ("kostet Zeit"), würde man nach der Minimax-Regel den Zug wählen, da hier im schlimmsten Fall – bei Schnee – die Fahrzeit und damit der Schaden mit 9 Stunden geringer ist als beim Auto mit 10 Stunden.
Die Entscheidung erscheint hier durchaus legitim, zum Beispiel wenn man einen wichtigen Termin nicht verpassen möchte (oder allgemeiner: wenn ein Schaden im schlimmsten Szenario mehr wiegt als ein Gewinn / eine Ersparnis in besseren Szenarien).
Ein Anwender der Regel ist also pessimistisch (klingt nicht gut) – oder sehr risikobewusst (klingt besser). Dadurch bleibt ihm das theoretische Optimum (6 Stunden Fahrzeit) verwehrt.
Alternativen zur Minimax-Regel
Andere Entscheidungskriterien bei Unsicherheit:
Fazit
- Minimax-Regel (Maximin / Wald-Regel): pessimistisch – für jede Alternative wird das schlechteste Ergebnis (Minimum) bestimmt; gewählt wird die Alternative mit dem höchsten Mindestergebnis.
- Schritt 1: Minimum je Alternative bestimmen – Schritt 2: Alternative mit dem Maximum der Minima wählen.
- Geeignet bei hoher Risikoaversion; ignoriert aber günstige Szenarien und kann zu sehr konservativen Entscheidungen führen.
Selbsttest: Minimax-Regel
Aufgabe: Minimax-Regel
Drei Investitionsalternativen A, B und C versprechen je nach Konjunktur folgende Gewinne (in T€):
| Alternative | schlecht | mittel | gut |
|---|---|---|---|
| A | 22 | 60 | 110 |
| B | 30 | 50 | 80 |
| C | 10 | 70 | 120 |
Die Wahrscheinlichkeiten der Konjunkturszenarien sind unbekannt. Bestimmen Sie nach der Minimax-Regel, welche Alternative gewählt werden sollte.
Mindestergebnisse (Minimum je Alternative):
A: min(22, 60, 110) = 22 T€
B: min(30, 50, 80) = 30 T€
C: min(10, 70, 120) = 10 T€
Maximum der Minima: max(22, 30, 10) = 30 T€ (Alternative B)
Entscheidung nach Minimax-Regel: Alternative B (sichert im schlechtesten Fall 30 T€).