Potenzen

Potenzen Definition

Das mehrfache Multiplizieren einer Zahl kann man verkürzt als Potenz schreiben, z.B.:

$$2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^3 = 8$$

Dabei ist 2 die Basis bzw. Grundzahl (das, was multipliziert wird), 3 der Exponent bzw. die Hochzahl (wie oft multipliziert wird; hier 3 mal, deshalb auch dritte Potenz) und 8 der Potenzwert (das Ergebnis).

Alternative Begriffe: Potenzrechnung, Potenzschreibweise.

Potenzgesetze / Potenzregeln / Exponentenregeln

Es seien allgemein a die Basis, m und n seien Exponenten. Dann gilt:

Potenz mit Exponent 0

$$a^0 = 1$$

So ist z.B. $2^0 = 1, 73^0 = 1$ usw.

Potenzen multiplizieren / Exponenten multiplizieren

$$a^m \cdot a^n = a^{m + n}$$

Beispiel: $2^2 \cdot 2^3 = (2 \cdot 2) \cdot (2 \cdot 2 \cdot 2) = 2^{2 + 3} = 2^5 = 32$.

Potenzen dividieren

$$\frac{a^m}{a^n} = a^{m - n}$$

Beispiel: $\frac{2^3}{2^2} = \frac{2 \cdot 2 \cdot 2}{2 \cdot 2} = 2^{3 - 2} = 2^1 = 2$.

Potenzen potenzieren

$$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$$

Beispiel: $(2^3)^2 = 2^{3 \cdot 2} = 2^6 = 64$.

Negative Exponenten

$$a^{-m} = \frac{1}{a^m}$$

Beispiel: $2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8} = 0,125$.

Bruch als Exponent

$$a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$$

Beispiel: $27^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{27^2} = \sqrt[3]{729} = 9$.

Potenzen addieren / Exponenten addieren

Potenzen können nur addiert werden, wenn Basis und Exponent gleich sind.

Beispiel: $2 \cdot 2^3 + 5 \cdot 2^3 = (2 + 5) \cdot 2^3 = 7 \cdot 2^3 = 7 \cdot 8 = 56$.