Potenzen

Beispiele

Es seien allgemein a die Basis, m und n seien Exponenten.

Dann gilt:

Potenz mit Exponent 0

$$a^0 = 1$$

Jede beliebige Basis a hoch 0 ist also immer 1 (solange a nicht 0 ist).

So ist zum Beispiel

$2^0 = 1$

$73^0 = 1$

$0,5^0 = 1$.

Potenzen multiplizieren / Exponenten multiplizieren

Wenn die Basis gleich ist (a) und die Exponenten ungleich sind (m und n), werden die Exponenten addiert:

$$a^m \cdot a^n = a^{m + n}$$

Beispiel:

$2^2 \cdot 2^3 = (2 \cdot 2) \cdot (2 \cdot 2 \cdot 2)$

$= 2^{2 + 3} = 2^5 = 32$.

Wenn die Basis ungleich ist (a und b) und die Exponenten gleich sind (m), werden die Basen multipliziert:

$$a^m \cdot b^m = (a \cdot b)^m$$

Beispiel:

$2^2 \cdot 3^2 = (2 \cdot 3)^{2} = 6^2 = 36$.

Potenzen dividieren

$$\frac{a^m}{a^n} = a^{m - n}$$

Die Exponenten werden also subtrahiert.

Beispiel:

$\frac{2^3}{2^2} = \frac{2 \cdot 2 \cdot 2}{2 \cdot 2} = 2^{3 - 2} = 2^1 = 2$.

Potenzen potenzieren

$$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$$

Die Exponenten werden multipliziert.

Beispiel: $(2^3)^2 = 2^{3 \cdot 2} = 2^6 = 64$.

Negative Exponenten

$$a^{-m} = \frac{1}{a^m}$$

Bei negativen Exponenten wird 1 durch die Basis hoch den positiven Exponenten geteilt.

Beispiel:

$2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8} = 0,125$.

Bruch als Exponent

$$a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$$

Ein Bruch als Exponent entspricht einer Wurzel, bei der der Wurzelgrad dem Nenner des Bruchs entspricht und unter der Wurzel die Basis hoch den Zähler des Bruches steht.

Beispiel:

$27^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{27^2} = \sqrt[3]{729} = 9$.

Potenzen addieren / Exponenten addieren

Potenzen können nur addiert werden, wenn Basis und Exponent gleich sind.

Beispiel:

$2 \cdot 2^3 + 5 \cdot 2^3 = (2 + 5) \cdot 2^3$

$= 7 \cdot 2^3 = 7 \cdot 8 = 56$.