Potenzen
Definition
Das mehrfache Multiplizieren einer Zahl kann man verkürzt als Potenz schreiben:
$$2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^3 = 8$$
Dabei ist
- 2 die Basis bzw. Grundzahl (das, was multipliziert wird),
- 3 der Exponent bzw. die Hochzahl (wie oft multipliziert wird; hier 3 mal, deshalb auch dritte Potenz) und
- 8 der Potenzwert (das Ergebnis).
Alternative Begriffe: Potenzieren, Potenzierung, Potenzrechnung, Potenzschreibweise.
Potenzgesetze / Potenzregeln / Exponentenregeln
Beispiele
Es seien allgemein a die Basis, m und n seien Exponenten.
Dann gilt:
Potenz mit Exponent 0
$$a^0 = 1$$
Jede beliebige Basis a hoch 0 ist also immer 1 (solange a nicht 0 ist).
So ist zum Beispiel
$2^0 = 1$
$73^0 = 1$
$0,5^0 = 1$.
Potenzen multiplizieren / Exponenten multiplizieren
Wenn die Basis gleich ist (a) und die Exponenten ungleich sind (m und n), werden die Exponenten addiert:
$$a^m \cdot a^n = a^{m + n}$$
Beispiel:
$2^2 \cdot 2^3 = (2 \cdot 2) \cdot (2 \cdot 2 \cdot 2)$
$= 2^{2 + 3} = 2^5 = 32$.
Wenn die Basis ungleich ist (a und b) und die Exponenten gleich sind (m), werden die Basen multipliziert:
$$a^m \cdot b^m = (a \cdot b)^m$$
Beispiel:
$2^2 \cdot 3^2 = (2 \cdot 3)^{2} = 6^2 = 36$.
Potenzen dividieren
$$\frac{a^m}{a^n} = a^{m - n}$$
Die Exponenten werden also subtrahiert.
Beispiel:
$\frac{2^3}{2^2} = \frac{2 \cdot 2 \cdot 2}{2 \cdot 2} = 2^{3 - 2} = 2^1 = 2$.
Potenzen potenzieren
$$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$$
Die Exponenten werden multipliziert.
Beispiel: $(2^3)^2 = 2^{3 \cdot 2} = 2^6 = 64$.
Negative Exponenten
$$a^{-m} = \frac{1}{a^m}$$
Bei negativen Exponenten wird 1 durch die Basis hoch den positiven Exponenten geteilt.
Beispiel:
$2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8} = 0,125$.
Bruch als Exponent
$$a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$$
Ein Bruch als Exponent entspricht einer Wurzel, bei der der Wurzelgrad dem Nenner des Bruchs entspricht und unter der Wurzel die Basis hoch den Zähler des Bruches steht.
Beispiel:
$27^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{27^2} = \sqrt[3]{729} = 9$.
Potenzen addieren / Exponenten addieren
Potenzen können nur addiert werden, wenn Basis und Exponent gleich sind.
Beispiel:
$2 \cdot 2^3 + 5 \cdot 2^3 = (2 + 5) \cdot 2^3$
$= 7 \cdot 2^3 = 7 \cdot 8 = 56$.