Definition
Rationale Zahlen lassen sich als Bruch $\frac{z}{n}$ darstellen, wobei der Zähler z und der Nenner n ganzen Zahlen sind (beispielsweise -3, 0, 1, 2 ...), der Nenner n aber nicht 0 sein darf (man teilt nicht durch 0).
Die Menge der rationalen Zahlen wird üblicherweise mit $\mathbb{Q}$ bezeichnet.
Alternative Begriffe: Grundmenge Q, Menge Q, Zahlenbereich Q, Zahlenmenge Q.
Beispiele
Beispiele für rationale Zahlen sind
- $\frac{1}{3}$,
- $-\frac{7}{11}$,
- 0,15 (lässt sich zum Beispiel als $\frac{15}{100}$ darstellen) oder
- 2 (lässt sich zum Beispiel als $\frac{2}{1}$ oder $\frac{8}{4}$ darstellen, das heißt als (unechter) Bruch; Natürliche Zahlen und ganze Zahlen sind also ein Teil der rationalen Zahlen).
Rationale Zahlen lassen sich als
- abbrechende / endliche Dezimalbrüche (zum Beispiel 0,25 für $\frac{1}{4}$) oder
- periodische Dezimalbrüche (zum Beispiel $0,\overline{3}$ für $\frac{1}{3}$) schreiben.
Gegenbeispiel
$\sqrt{3}$ ist zum Beispiel keine rational Zahl.
$\sqrt{3}$ ergibt im Taschenrechner 1,732050808; das lässt sich nicht als Bruch aus ganzen Zahlen darstellen.
Fazit
- Rationale Zahlen $\mathbb{Q}$ = {z/n | z, n $\in \mathbb{Z}$, n ≠ 0}: jede Zahl, die als Bruch aus ganzen Zahlen darstellbar ist
- Dezimaldarstellung: abbrechend (z.B. 0,25 = 1/4) oder periodisch (z.B. 0,333… = 1/3)
- $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}$: ganze und natürliche Zahlen sind Teilmengen von $\mathbb{Q}$
- Nicht rational: Zahlen mit unendlichen nicht-periodischen Dezimalstellen, z.B. √3 oder π
Selbsttest: Rationale Zahlen
Aufgabe: Rational oder irrational?
Entscheiden Sie für jede der folgenden Zahlen, ob sie rational oder irrational ist, und begründen Sie kurz: 5/8 | √5 | 0,777… | √4
5/8 = 0,625 (abbrechender Dezimalbruch) → rational ✓
√5 ≈ 2,2360679… (unendlich, nicht-periodisch) → irrational
0,777… = 7/9 (periodischer Dezimalbruch) → rational ✓
√4 = 2 = 2/1 (darstellbar als Bruch) → rational ✓