Reelle Zahlen: Definition, ℝ, rationale und irrationale Zahlen

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Definition

Reelle Zahlen umfassen die

rationalen Zahlen (als Bruch darstellbar, mit ganzen Zahlen im Zähler und Nenner, zum Beispiel 1/3; endliche bzw. periodische Dezimalzahlen wie zum Beispiel 3,3 oder 5,212121; die rationalen Zahlen umfassen ja auch bereits die Ganzen Zahlen wie -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 und so weiter und damit auch die Natürlichen Zahlen 0, 1, 2, 3 …) und
die irrationalen Zahlen (nicht als Bruch darstellbar, beispielsweise $\pi$ mit 3,1415926 ... oder die Eulersche Zahl e mit 2,718181 ... oder die Wurzel aus 2, 7 oder 10; jeweils mit unendlich vielen Nachkommastellen; unendliche bzw. nichtperiodische Dezimalzahlen).

Die Menge der reellen Zahlen wird üblicherweise mit $\mathbb{R}$ bezeichnet.

$\mathbb{R^+}$ für die positiven reellen Zahlen.

$\mathbb{R_0^+}$ für die positiven reellen Zahlen inklusive Null.

Die irrationalen Zahlen kann man dann als reelle Zahlen ohne die rationalen Zahlen schreiben: $\mathbb{I} = \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}$.

Alternative Begriffe: Grundmenge R, Menge R, Zahlenbereich R, Zahlenmenge R.

Reelle Zahlen $\mathbb{R}$ = rationale Zahlen $\cup$ irrationale Zahlen: sie bilden die vollständige Zahlengerade
Rationale Zahlen ($\mathbb{Q}$): abbrechende oder periodische Dezimaldarstellung, z.B. 0,25 oder 0,333…
Irrationale Zahlen ($\mathbb{I} = \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$): unendlich viele nicht-periodische Stellen, z.B. π ≈ 3,14159…, e ≈ 2,71828…, √2
Teilmengenbeziehung: $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$

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Was kennzeichnet irrationale Zahlen in ihrer Dezimaldarstellung?

Sie sind immer negativ

Unendlich viele Nachkommastellen, die sich nicht wiederholen

Sie lassen sich als Bruch darstellen

Sie sind immer größer als 1

Welche der folgenden Zahlen ist irrational?

1/3

−7

0,25

Was bezeichnet ℝ⁺?

Positive reelle Zahlen (ohne Null)

Positive reelle Zahlen inklusive Null

Alle reellen Zahlen größer als 1

Negative reelle Zahlen

Welche Teilmengenbeziehung zwischen den Zahlenmengen ist korrekt?

ℝ ⊂ ℚ ⊂ ℤ ⊂ ℕ

ℤ ⊂ ℕ ⊂ ℚ ⊂ ℝ

ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ

ℚ ⊂ ℤ ⊂ ℕ ⊂ ℝ

Nochmal versuchen

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Ordnen Sie jede der folgenden Zahlen der kleinsten Zahlenmenge zu, der sie angehört (ℕ, ℤ, ℚ oder ℐ): 5 | −3 | 3/7 | √7 | 0,125

Lösung anzeigen

5 → ℕ (positive ganze Zahl)

−3 → ℤ (negative ganze Zahl, nicht in ℕ)

3/7 ≈ 0,4285… (periodisch) → ℚ

√7 ≈ 2,6457… (unendlich, nicht-periodisch) → ℐ (irrational, Teil von ℝ)

0,125 = 1/8 (abbrechender Dezimalbruch) → ℚ

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