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Mathematik Letzte Änderung: 29. Oktober 2026

Ganze Zahlen

OG Von OG 3 Minuten Lesezeit
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Definition

Ganze Zahlen sind Zahlen wie -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4 usw., also positive und negative Zahlen ohne Nachkommastellen sowie die 0.

Die Menge der ganzen Zahlen wird üblicherweise mit $\mathbb{Z}$ bezeichnet.

Alternative Begriffe: ganzzahlige Werte, Zahlenmenge Z.

Ganze Zahlen auf dem Zahlenstrahl

Auf dem Zahlenstrahl liegen die ganzen Zahlen in gleichmäßigen Abständen rechts und links von der 0: rechts die positiven Zahlen (+1, +2, +3, …), links die negativen (−1, −2, −3, …). Die 0 selbst ist weder positiv noch negativ – sie gehört aber zu ℤ.

Zahlengerade der ganzen ZahlenZahlengerade der ganzen Zahlenℤ = {…, −2, −1, 0, 1, 2, …}← negative Zahlenpositive Zahlen →−5−4−3−2−1012345−3 ∈ ℤnegative ganze Zahl0 ∈ ℤweder pos. noch neg.+4 ∈ ℤpositive ganze ZahlNicht in ℤ (Dezimal- und Bruchzahlen):0,5−1,71/3Diese Zahlen liegen zwischen den ganzzahligen Markierungen.

Einordnung: ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ

Die ganzen Zahlen erweitern die natürlichen Zahlen ℕ = {0, 1, 2, 3, …} um ihre negativen Gegenstücke. Es gilt die Teilmengenbeziehung:

ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ

Jede natürliche Zahl ist also auch eine ganze Zahl – aber nicht umgekehrt (−5 ∈ ℤ, aber −5 ∉ ℕ). Die nächste Menge sind die rationalen Zahlen ℚ, die auch Brüche wie ½ oder −¾ enthalten.

Ganze Zahlen im Alltag

Ganze Zahlen kommen überall dort vor, wo Werte unter null möglich sind:

  • Schulden: Girokonto mit −500 € Saldo – −500 ∈ ℤ.
  • Temperatur: −5 °C und −18 °C sind ganze Zahlen ∈ ℤ.
  • Stockwerke: Tiefgarage = −2, Erdgeschoss = 0, 3. OG = +3 – alle ∈ ℤ.
  • Nicht ganz: −0,5 °C oder 1½ Stunden sind keine ganzen Zahlen – sie haben Dezimal- oder Bruchwerte.

Fazit

  • Ganze Zahlen $\mathbb{Z}$ = {…, −2, −1, 0, 1, 2, …}: positive und negative ganze Zahlen sowie die 0 – ohne Dezimalanteil
  • Im Unterschied zu $\mathbb{N}$ enthält $\mathbb{Z}$ auch negative Zahlen – z.B. Schulden oder Temperaturen unter null
  • $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}$: jede natürliche Zahl ist auch eine ganze Zahl, aber nicht umgekehrt
  • Brüche wie 1/2 oder Dezimalzahlen wie 0,5 sind keine ganzen Zahlen
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Selbsttest: Ganze Zahlen

Welche Zahlen gehören NICHT zur Menge ℤ?
Zahlen mit Nachkommastellen, z.B. 2,5
Negative ganze Zahlen, z.B. −5
Die Zahl 0
Positive ganze Zahlen, z.B. 7
Welches Symbol steht für die Menge der ganzen Zahlen?
ℕ
ℚ
ℤ
ℝ
Welche Aussage über ganze Zahlen ist richtig?
Ganze Zahlen sind immer positiv
ℤ enthält positive Zahlen, negative Zahlen und die 0
Ganze Zahlen können Dezimalstellen haben
ℤ ist eine Teilmenge von ℕ
Nochmal versuchen
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Aufgabe: Ganze Zahlen bestimmen

Entscheiden Sie für jede der folgenden Zahlen, ob sie zur Menge ℤ gehört oder nicht: 7, −3, 0,5, 0, −12, 2/3

7 → ℤ ✓ (positive ganze Zahl)

−3 → ℤ ✓ (negative ganze Zahl)

0,5 → nicht ℤ (hat Dezimalanteil)

0 → ℤ ✓ (die 0 gehört zu ℤ)

−12 → ℤ ✓ (negative ganze Zahl)

2/3 → nicht ℤ (Bruch, kein ganzzahliger Wert)

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