Definition
Die Signumfunktion (Vorzeichenfunktion) weist positiven Zahlen den Wert +1, negativen Zahlen den Wert -1 und der 0 den Wert 0 zu.
Als Formel:
$$sgn(x) =
\begin{cases}
+1 \, & \text{falls $x > 0$} \\
0 \, & \text{falls $x = 0$} \\
-1 \, & \text{falls $x < 0$}
\end{cases}$$
Alternative Begriffe: Signum-Funktion.
Beispiele
Beispiele: Signumfunktion
$$sgn(-5) = -1$$
$$sgn(0) = 0$$
$$sgn(5) = 1$$
Wird die Signumfunktion beispielsweise als Faktor verwendet, bestimmt deren Ergebnis das Vorzeichen des Terms.
Beispielhafte Funktion:
$$f(x) = sgn(x)\cdot x^2$$
Mit zum Beispiel x = -2:
$$f(-2) = sgn(-2)\cdot (-2)^2 = -1 \cdot 4 = -4$$
Fazit
- sgn(x) gibt das Vorzeichen von x zurück: +1 für x > 0, 0 für x = 0, −1 für x < 0
- Als Faktor eingesetzt: sgn(x) überträgt das Vorzeichen von x auf einen anderen Term – Beispiel: f(x) = sgn(x) · x2
- Anwendung: überall dort, wo nur das Vorzeichen einer Zahl relevant ist, nicht ihr Betrag
Selbsttest: Signumfunktion
Aufgabe: Signumfunktion
Gegeben ist g(x) = sgn(x) · (x + 2)2.
Berechnen Sie g(−4), g(0) und g(3).
g(−4): sgn(−4) = −1; (−4 + 2)2 = (−2)2 = 4 → g(−4) = −1 · 4 = −4
g(0): sgn(0) = 0; (0 + 2)2 = 4 → g(0) = 0 · 4 = 0
g(3): sgn(3) = +1; (3 + 2)2 = 52 = 25 → g(3) = 1 · 25 = 25