Bernoulli-Ungleichung

Bernoulli-Ungleichung Definition

Ist x eine (beliebige) reelle Zahl >= -1 und n eine (beliebige) natürliche Zahl n (also n = 0, 1, 2, 3, 4 ...), dann gilt stets die Bernoulli-Ungleichung:

$$(1 + x)^n >= 1 + n \cdot x$$

Beispiel

Es sei x = 3,5 und n = 2.

Dann ist die linke Seite der Ungleichung (1 + 3,5)² = 4,5² = 20,25.

Und die rechte Seite der Ungleichung $1 + 2 \cdot 3,5 = 1 + 7 = 8$.

Die Ungleichung 20,25 >= 8 ist erfüllt (das ist natürlich noch kein Beweis – aber den gibt es).

Mit der Bernoulli-Ungleichung lässt sich eine Untergrenze für eine Potenzfunktion berechnen (an dem Beispiel sieht man aber, dass es eine Untergrenze ist, die vom tatsächlichen Wert der Potenzfunktion weit entfernt sein kann; es ist also keine Näherung).

Alternative Begriffe: Bernoullische Ungleichung, Ungleichung von Bernoulli.