Wurzelgleichungen

Beispiel

Folgende Wurzelgleichung soll gelöst werden:

$$3 + \sqrt{x + 3} = 5$$

Definitionsmenge bestimmen

Zunächst gibt man i. d. R. die Definitionsmenge an. Das was unter der Wurzel steht (Radikant) darf nicht negativ sein, sonst ist die Wurzel nicht definiert.

x + 3 muss also >= 0 sein, d. h. x muss >= -3 sein. Die Definitionsmenge der Wurzelgleichung geht von einschließlich -3 bis plus unendlich.

Wurzelgleichung lösen

Die Wurzel freistellen:

$$\sqrt{x + 3} = 5 - 3 = 2$$

Beide Seiten quadrieren:

$$x + 3 = 4$$

x freistellen:

$$x = 4 - 3 = 1$$

Kontrolle:

$$3 + \sqrt{1 + 3} = 3 + 2 = 5$$

Die Lösung der Wurzelgleichung ist x = 1 bzw. die Lösungsmenge ist L = {1}.

Quadrieren ist in Ordnung, um die Lösung zu finden. Quadrieren ist aber keine Äquivalenzumformung, deshalb muss man alle so gefundenen Lösungen überprüfen, ob sie die Gleichung erfüllen (wie oben) oder nicht (dann diese Lösung außen vor lassen).