Wurzelgleichungen
Wurzelgleichungen Definition
Bei Wurzelgleichungen ist die Variable x in einer Wurzel (manchmal ist das nicht offensichtlich, weil die Potenzschreibweise mit einem Exponenten < 1 verwendet wird; so entspricht z.B. $9^{\frac{1}{2}} = \sqrt{9} = 3$).
Beispiel
Beispiel
Folgende Wurzelgleichung soll gelöst werden:
$$3 + \sqrt{x + 3} = 5$$
Definitionsmenge bestimmen
Zunächst gibt man i. d. R. die Definitionsmenge an. Das was unter der Wurzel steht (Radikant) darf nicht negativ sein, sonst ist die Wurzel nicht definiert.
x + 3 muss also >= 0 sein, d. h. x muss >= -3 sein. Die Definitionsmenge der Wurzelgleichung geht von einschließlich -3 bis plus unendlich.
Wurzelgleichung lösen
Die Wurzel freistellen:
$$\sqrt{x + 3} = 5 - 3 = 2$$
Beide Seiten quadrieren:
$$x + 3 = 4$$
x freistellen:
$$x = 4 - 3 = 1$$
Kontrolle:
$$3 + \sqrt{1 + 3} = 3 + 2 = 5$$
Die Lösung der Wurzelgleichung ist x = 1 bzw. die Lösungsmenge ist L = {1}.
Quadrieren ist in Ordnung, um die Lösung zu finden. Quadrieren ist aber keine Äquivalenzumformung, deshalb muss man alle so gefundenen Lösungen überprüfen, ob sie die Gleichung erfüllen (wie oben) oder nicht (dann diese Lösung außen vor lassen).