Quadratische Ergänzung

Beispiele

Die Gleichung

$x^2 + x - 6 = 0$

aus dem Beispiel zur p-q-Formel soll mittels quadratischer Ergänzung gelöst werden (die Lösungen mit der p-q-Formel waren x₁ = 2 und x₂ = -3).

Wenn man den linken Term $x^2 + x - 6$ der linken Seite der 1. binomischen Formel $a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$ gegenüberstellt, sieht man, dass

• man a = x setzen könnte,
• 2ab mit a = x und b = 0,5 "passen" würde $(2ab = 2 \cdot x \cdot 0,5 = x)$
• die -6 gar nicht passt, hier bräuchte man 0,25 (0,5²).

Man kann -6 aber auch als 0,25 - 6,25 schreiben:

$$x^2 + x + 0,25 - 6,25$$

Nun kann man die 1. binomische Formel $a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$ anwenden und den Term umformen:

$$(x + 0,5)^2 - 6,25$$

In der Gleichung:

$$(x + 0,5)^2 - 6,25 = 0$$

$$(x + 0,5)^2 = 6,25$$

Der linke Term in der Klammer (x + 0,5) muss 2,5 oder -2,5 sein (2,5² = 6,25 und (-2,5)² = 6,25).

Wenn x = 2 ist, ist der linke Term in der Klammer 2,5, wenn x = - 3 ist, dann ist der linke Term in der Klammer -2,5. x₁ = 2 und x₂ = -3 sind somit die Lösungen.

Quadratische Ergänzung mit Vorfaktor

Steht vor dem x² ein Faktor, muss man erst einmal ausklammern.

Die Gleichung sei $2x^2 + 2x - 12 = 0$

Ausklammern:

$$2(x^2 + x) - 12 = 0$$

(Quadratisch) ergänzen:

$$2(x^2 + x + 0,5^2 - 0,5^2) - 12 = 0$$

$$2[(x^2 + 0,5)^2 - 0,5^2] - 12 = 0$$

$$2(x^2 + 0,5)^2 - 2 \cdot 0,5^2 - 12 = 0$$

$$2(x^2 + 0,5)^2 = 12,5$$

$$(x^2 + 0,5)^2 = 6,25$$

Das ist derselbe Term wie oben und die Lösungen sind entsprechend x = 2 und x = -3.