Quadratische Ergänzung
Definition
Die quadratische Ergänzung ist eine Methode, um
- quadratische Gleichungen zu lösen oder
- um die Scheitelpunktform quadratischer Funktionen herzustellen.
Dazu formt man den ursprünglichen Term so um, dass man die 1. oder 2. binomische Formel anwenden kann.
Beispiele
Die Gleichung
$x^2 + x - 6 = 0$
aus dem Beispiel zur p-q-Formel soll mittels quadratischer Ergänzung gelöst werden (die Lösungen mit der p-q-Formel waren x1 = 2 und x2 = -3).
Wenn man den linken Term $x^2 + x - 6$ der linken Seite der 1. binomischen Formel $a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$ gegenüberstellt, sieht man, dass
- man a = x setzen könnte,
- 2ab mit a = x und b = 0,5 "passen" würde $(2ab = 2 \cdot x \cdot 0,5 = x)$
- die -6 gar nicht passt, hier bräuchte man 0,25 (0,52).
Man kann -6 aber auch als 0,25 - 6,25 schreiben:
$$x^2 + x + 0,25 - 6,25$$
Nun kann man die 1. binomische Formel $a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$ anwenden und den Term umformen:
$$(x + 0,5)^2 - 6,25$$
In der Gleichung:
$$(x + 0,5)^2 - 6,25 = 0$$
$$(x + 0,5)^2 = 6,25$$
Der linke Term in der Klammer (x + 0,5) muss 2,5 oder -2,5 sein (2,52 = 6,25 und (-2,5)2 = 6,25).
Wenn x = 2 ist, ist der linke Term in der Klammer 2,5, wenn x = - 3 ist, dann ist der linke Term in der Klammer -2,5. x1 = 2 und x2 = -3 sind somit die Lösungen.
Quadratische Ergänzung mit Vorfaktor
Steht vor dem x2 ein Faktor, muss man erst einmal ausklammern.
Die Gleichung sei $2x^2 + 2x - 12 = 0$
Ausklammern:
$$2(x^2 + x) - 12 = 0$$
(Quadratisch) ergänzen:
$$2(x^2 + x + 0,5^2 - 0,5^2) - 12 = 0$$
$$2[(x^2 + 0,5)^2 - 0,5^2] - 12 = 0$$
$$2(x^2 + 0,5)^2 - 2 \cdot 0,5^2 - 12 = 0$$
$$2(x^2 + 0,5)^2 = 12,5$$
$$(x^2 + 0,5)^2 = 6,25$$
Das ist derselbe Term wie oben und die Lösungen sind entsprechend x = 2 und x = -3.