Quadratische Ergänzung
Quadratische Ergänzung Definition
Die quadratische Ergänzung ist eine Methode, um quadratische Gleichungen zu lösen oder um die Scheitelpunktform quadratischer Funktionen herzustellen.
Dazu formt man den ursprünglichen Term so um, dass man die 1. oder 2. binomische Formel anwenden kann.
Beispiel
Die Gleichung $x^2 + x - 6 = 0$ (aus dem Beispiel zur p-q-Formel) soll mittels quadratischer Ergänzung gelöst werden (die Lösungen mit der p-q-Formel waren x1 = 2 und x2 = -3).
Wenn man den linken Term $x^2 + x - 6$ der linken Seite der 1. binomischen Formel $a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$ gegenüberstellt, sieht man, dass
- man a = x setzen könnte,
- 2ab mit a = x und b = 0,5 "passen" würde $(2ab = 2 \cdot x \cdot 0,5 = x)$
- die -6 gar nicht passt, hier bräuchte man 0,25 (0,52).
Man kann -6 aber auch als 0,25 - 6,25 schreiben:
$$x^2 + x + 0,25 - 6,25$$
Nun kann man die 1. binomische Formel $a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$ anwenden und den Term umformen:
$$(x + 0,5)^2 - 6,25$$
In der Gleichung:
$$(x + 0,5)^2 - 6,25 = 0$$
$$(x + 0,5)^2 = 6,25$$
Der linke Term in der Klammer (x + 0,5) muss 2,5 oder -2,5 sein (2,52 = 6,25 und (-2,5)2 = 6,25).
Wenn x = 2 ist, ist der linke Term in der Klammer 2,5, wenn x = - 3 ist, dann ist der linke Term in der Klammer -2,5. x1 = 2 und x2 = -3 sind somit die Lösungen.
Quadratische Ergänzung mit Vorfaktor
Steht vor dem x2 ein Faktor, muss man erst einmal ausklammern.
Beispiel
Die Gleichung sei $2x^2 + 2x - 12 = 0$
Ausklammern:
$$2(x^2 + x) - 12 = 0$$
(Quadratisch) ergänzen:
$$2(x^2 + x + 0,5^2 - 0,5^2) - 12 = 0$$
$$2[(x^2 + 0,5)^2 - 0,5^2] - 12 = 0$$
$$2(x^2 + 0,5)^2 - 2 \cdot 0,5^2 - 12 = 0$$
$$2(x^2 + 0,5)^2 = 12,5$$
$$(x^2 + 0,5)^2 = 6,25$$
Das ist derselbe Term wie oben und die Lösungen sind entsprechend x = 2 und x = -3.