p-Wert
p-Wert Definition
Mit dem p-Wert (engl.: probability value bzw. p-value) kann man überprüfen, ob die Ergebnisse eines Experiments bzw. einer Studie ggfs. nur durch Zufall (oder durch "Raten", je nach Experiment) zustande gekommen sind.
Der p-Wert ist eines der Maße der statistischen Wahrscheinlichkeit (neben z.B. dem Konfidenzintervall) und wird oft bei Hypothesentests berechnet und angegeben.
Der p-Wert gibt dann die Wahrscheinlichkeit für das Testergebnis oder ein noch extremeres Ergebnis an, wenn die Nullhypothese stimmt. Liegt dieser p-Wert über dem gewählten Signifikanzniveau, wird die Nullhypothese nicht verworfen; liegt er darunter, wird die Nullhypothese verworfen (und die Alternativhypothese angenommen).
Alternative Begriffe: Überschreitungswahrscheinlichkeit.
Beispiel
Beispiel: p-Wert berechnen
In dem Beispiel zum Hypothesentest hatte der Schiedsrichter den Verdacht, dass seine Münze nicht in Ordnung ist; er hatte deshalb die Münze 10 mal geworfen und 7 mal "Kopf" erhalten (die sog. Teststatistik betrug also 7).
Wir wandeln die Fragestellung des Hypothesentests dahingehend ab, dass wir uns nur dafür interessieren, dass zu oft Kopf kommt (und nicht auch zu selten Kopf).
Als Hypothesentest formuliert:
- Nullhypothese H0: "Die Wahrscheinlichkeit für Kopf ist <= 0,5 bzw. 50 %"
- Alternativhypothese H1: "Die Wahrscheinlichkeit für Kopf ist > 0,5 bzw. 50 %"
Das Signifikanzniveau sei 0,05.
p-Wert berechnen
Der p-Wert ist hier die Wahrscheinlichkeit, 7 mal Kopf (also den "gemessenen" – in dem Fall gezählten – Wert bzw. die Teststatistik) oder noch darüber hinausgehende "extremere" Anzahlen von Kopf (also 8 mal Kopf, 9 mal Kopf oder gar 10 mal Kopf) zu erhalten, wenn die Nullhypothese stimmt.
Dazu addieren wir die Wahrscheinlichkeiten aus der Tabelle zur Binomialverteilung zum Hypothesentest auf: 0,1171875 (für 7 mal Kopf) + 0,0439453125 (8 mal Kopf) + 0,009765625 (9 mal Kopf) + 0,0009765625 (10 mal Kopf) = 0,171874999 = 0,172 (gerundet).
Die Wahrscheinlichkeit, 7 oder mehr mal Kopf zu erhalten – der p-Wert – ist 0,172 bzw. ca. 17,2 % und damit gar nicht so gering.
p-Wert mit Signifikanzniveau vergleichen
Das vergleicht man mit dem zuvor gewählten Signifikanzniveau von 0,05. Der p-Wert liegt mit 0,172 über dem Signifikanzniveau von 0,05, das Ergebnis gilt als statistisch nicht signifikant, die Alternativhypothese H1 wird verworfen und die Nullhypothese H0 wird angenommen. Mit anderen Worten: das Auftreten von 7 mal Kopf ist bei dem gewählten Signifikanzniveau von 0,05 keine ausreichende Argumentation, die Münze als "zu kopflastig zu verurteilen". Das Ergebnis kann einfach dem Zufall geschuldet sein, mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. 17 % muss man mit 7 oder öfters mal Kopf rechnen.
Anders wäre es, wenn in der Versuchsreihe 9 mal Kopf gekommen wäre. Der p-Wert wäre dann 0,009765625 (9 mal Kopf) + 0,0009765625 (10 mal Kopf) = 0,010742187 = 0,011 (gerundet).
Die Wahrscheinlichkeit (p-Wert), 9 oder mehr mal Kopf zu erhalten, ist nun 0,011 bzw. ca. 1,1 %; es ist also sehr unwahrscheinlich, 9 mal oder öfters Kopf zu erhalten. Wenn dieses Ergebnis vorliegt, spricht dies stark dafür, die Alternativhypothese ("Münze hat eine Wahrscheinlichkeit für Kopf > 50 %") anzunehmen, das Ergebnis ist mit 0,011 < 0,05 (Signifikanzniveau) statistisch signifikant.
Allgemein: kleine p-Werte sprechen stark gegen die Gültigkeit der Nullhypothese.
p-Werte berechnen oder nachschlagen
P-Werte können berechnet werden (wie oben) oder – v.a. bei der (Standard-)Normalverteilung – in Tabellen nachgeschlagen werden.
p-Wert Normalverteilung
Hat man z.B. einen einseitigen, rechtsseitigen Hypothesentest und als Teststatistik eines Gauß-Tests einen z-Wert von 1,96, ist der dazugehörige Wert aus der Standardnormalverteilungstabelle 0,975002. D.h., rund 97,5 % liegen im Bereich bis 1,96 und nur (1 - 0,975002) = 0,024998 = ca. 2,5 % liegen rechts davon.