Gepaarter t-Test

Gepaarter t-Test Definition

Der gepaarte t-Test ist ein t-Test für 2 Stichproben, die voneinander abhängig sind.

Beispiel

Es wird für eine Gruppe von 20 Teilnehmern eines mehrmonatigen Sportprogramms der (arithmetische) Mittelwert des Ruhepulses vor (Stichprobe 1) und nach Abschluss des Sportprogramms (Stichprobe 2) berechnet und verglichen, um einen Effekt des Sportprogramms feststellen zu können.

Die Stichproben sind hier dadurch verbunden bzw. abhängig, dass dieselben Personen in den beiden Stichproben sind.

Der gepaarte t-Test untersucht Differenzen bzgl. des Mittelwerts eines Merkmals (im Beispiel: Ruhepuls) zwischen den zwei verbundenen Stichproben.

Voraussetzung für die Anwendung des gepaarten t-Tests ist, dass die Daten – genauer: die Differenzen der gepaarten Daten – normalverteilt sind (das kann vorab mit einem Test auf Normalverteilung geprüft werden).

Für unabhängige Stichproben gibt es den ungepaarten t-Test.

Alternative Begriffe: t-Test für abhängige Stichproben, Zweistichproben-t-Test für verbundene Stichproben.

Beispiel

Beispiel: (einseitiger) gepaarter t-Test

Das oben genannte Beispiel soll ausgeführt werden, allerdings (um die Berechnungen zu vereinfachen) nur mit 5 Teilnehmern.

Die gemessenen Ruhepulse vor und nach dem mehrmonatigen Sportprogramm und die jeweiligen Differenzen zwischen den beiden Messwerten sind:

Ruhepuls vor und nach dem Sportprogramm
Teilnehmer 1 2 3 4
5
vor Sportprogramm (Stichprobe 1) 60 80 70 75 80
nach Sportprogramm (Stichprobe 2) 62 70 72 70 72
Differenz 2 -10 2 -5 -8

Es handelt sich um einen einseitigen Test, da man nur wissen möchte, ob das Sportprogramm einen positiven (den Ruhepuls senkenden) Effekt hat.

Hypothesen aufstellen

Die Hypothesen für diesen gepaarten t-Test lauten:

Nullhypothese H0: μ2 = μ1

Alternativhypothese H1: μ2 < μ1 (Ruhepuls nach dem Sportprogramm niedriger)

Teststatistik berechnen

Zunächst wird der arithmetische Mittelwert der Differenzen berechnet: (2 - 10 + 2 - 5 - 8) / 5 = -19/5 = -3,8.

Nun wird die Stichprobenvarianz berechnet:

[(2 - -3,8)2 + (-10 - -3,8)2 + (2 - -3,8)2 + (-5 - -3,8)2 + (-8 - -3,8)2] / (5 - 1) = 124,80 / 4 = 31,2.

Und daraus die Stichprobenstandardabweichung √31,2 = 5,585696.

Die Teststatistik lautet:

$$t = \sqrt{n} \cdot \frac{\bar x}{s} = \sqrt{5} \cdot \frac{-3,8}{5,585696} = -1,521217$$

Testentscheidung treffen

In der Tabelle der t-Verteilung findet man für ein Signifikanzniveau von 0,05 und 4 Freiheitsgrade (Anzahl der Freiheitsgrade = Stichprobenumfang - 1 = 5 - 1 = 4) den t-Wert von 2,1318. Da die t-Verteilung symmetrisch mit einem Mittelwert von 0 ist, kann der Wert -2,1318 verwendet werden.

Die Teststatistik ist mit -1,521217 nicht links dieses kritischen Wertes von -2,1318, deshalb kann die Nullhypothese nicht verworfen werden.