Zufallsvariable

Zufallsvariable Definition

Eine Zufallsvariable bildet die möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperiments ab, indem sie den Ergebnissen Zahlen zuordnet und durch die Zuordnung von Zahlen kann dann in der Folge gerechnet werden (z.B. kann der Erwartungswert berechnet werden).

Es handelt sich also bei der Zufallsvariablen um eine Funktion, der Begriff "Variable" ist etwas missverständlich.

Beispiel

Ein Würfel wird einmal geworfen (einstufiges Zufallsexperiment).

Wenn die Zufallsvariable als "gewürfelte Augenzahl" definiert und mit X bezeichnet wird, dann umfasst ihr Definitionsbereich die 6 Werte {x1 = 1, x2 =2, x3 =3, x4 = 4, x5 = 5, x6 = 6}. Die Zufallsvariable X kann jeden der 6 Werte zufällig annehmen (sog. Realisationen).

In dem Fall handelt es sich um eine diskrete Zufallsvariable (mit abzählbar vielen Werten). Diskrete Zufallsvariablen lassen sich mit einer Wahrscheinlichkeitsverteilung bzw. Wahrscheinlichkeitsfunktion abbilden.

Man kann für dasselbe Zufallsexperiment – z.B. das Würfeln mit 2 Würfeln – ganz unterschiedliche Zufallsvariablen definieren, z.B.

  • "Summe der Augenzahlen" (in dem Fall könnte die Zufallsvariable 11 Werte annehmen: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12),
  • "Differenz der Augenzahlen" (6 mögliche Werte der Zufallsvariablen: 0, 1, 2, 3, 4, 5) oder
  • "Anzahl der 6er" (3 mögliche Werte der Zufallsvariablen: 0, 1, 2), je nachdem, wofür man sich interessiert.

In den Würfelbeispielen oder auch beim Roulette ergibt sich die Zuordnung der Zahlen mehr oder weniger natürlich, da diese Zahlen bereits auf dem "Zufallsgerät" (Würfel, Roulettekessel) aufgedruckt sind, bei anderen Zufallsexperimenten muss diese Zuordnung von Zahlen explizit vorgenommen werden.

Beim Zufallsexperiment "Münzwurf" könnte man z.B. "Kopf" die 0 und "Zahl" die 1 zuordnen.

Neben diskreten Zufallsvariablen gibt es stetige Zufallsvariablen (kontinuierliche Zufallsvariablen), die unendlich viele mögliche Werte bzw. Zwischenwerte annehmen können (z.B. Körpergröße, Gewicht, Zeit, Geschwindigkeit etc., wenn man genau misst). Stetige Zufallsvariablen lassen sich mit einer sog. Dichtefunktion abbilden.

Alternative Begriffe: Zufallsgröße.

Stichprobenkennwerte als Zufallsvariablen

Auch Stichprobenkennwerte (z.B. der Anteilswert) können als Zufallsvariablen betrachtet werden.

Beispiel: Stichprobenkennwerte als Zufallsvariablen

Eine Universität hat 20.000 Studenten. Es soll der Anteil der Raucher unter den Studenten bestimmt werden.

Dazu wird eine zufällige Stichprobe von 100 Studenten gezogen, 48 davon rauchen (48 %). Es wird eine weitere Stichprobe von 100 Studenten gezogen, 52 davon rauchen (52 %); weitere Stichproben würde weitere, ggfs. unterschiedliche Ergebnisse bringen.

Der Anteil der Raucher in der Stichprobe ist aufgrund der Zufallsauswahl letztlich eine Zufallsvariable — und deshalb können über wahrscheinlichkeitstheoretische Modelle Erkenntnisse aus Stichproben über die Grundgesamtheit (hier: 20.000 Studenten) gewonnen werden.