Bernoulli-Experiment

Bernoulli-Experiment Definition

Ein Bernoulli-Experiment ist ein Zufallsexperiment, das lediglich 2 Ergebnisse haben kann:

  • ein positives Ergebnis ("Erfolg", "Ja", "Treffer") und
  • ein negatives Ergebnis ("Mißerfolg", "Nein", "Niete").

Die Begriffe "positives Ergebnis" / "Erfolg" sind etwas missverständlich; sie bedeuten nicht, dass das Ergebnis wirklich etwas gutes ist, sondern beziehen sich auf das Ereignis, für das man sich interessiert; insofern kann auch der Befund "defekt" in der Qualitätskontrolle als "Erfolg" definiert werden, da man sich dafür interessiert.

Beispiele

Ein Münzwurf kann nur die 2 Ergebnisse haben: Kopf oder Zahl (äußerst selten kommt die Münze auch auf der Seite auf – diesen außergewöhnlichen Fall ignorieren wir hier).

Auch den Wurf eines Würfels könnte man als Bernoulli-Versuch gestalten (obwohl eigentlich 6 Ergebnisse möglich sind). Dazu könnte man z.B. die ungeraden Augenzahlen 1, 3 und 5 als "Erfolg" und die geraden Augenzahlen 2, 4 und 6 als "Mißerfolg" definieren; dann hat man wieder nur 2 mögliche Ergebnisse: "Ungerade Augenzahl" und "Gerade Augenzahl".

Das Bernoulli-Experiment kann einmal (einstufiges Experiment) oder mehrmals (mehrstufiges Experiment; daraus ergibt sich die Binomialverteilung) durchgeführt werden, in letzterem Fall liegt eine sog. Bernoulli-Kette vor.

Voraussetzung für die Bernoulli-Kette ist, dass bei jeder Wiederholung das Experiment unter den gleichen Voraussetzungen / Bedingungen abläuft (d.h., hier muss "mit Zurücklegen" gespielt werden, da die Voraussetzungen sich sonst mit jedem Zug ändern würden; bei großen Grundgesamtheiten (z.B. 1.000 produzierte Stück als Tagesproduktion) wird das nicht so streng gesehen, da es die Wahrscheinlichkeit nur geringfügig ändert, wenn man ein oder wenige Stück aus der Stichprobe nicht wieder zurücklegt).

Alternative Begriffe: Bernoulli-Versuch.

Beispiel

Beispiel eines Bernoulli-Versuchs

Ein Würfel wird 6 mal geworfen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau 4 mal eine Zahl >= 5 kommt?

Es gibt also 2 mögliche Ergebnisse: >= 5 oder eben nicht >= 5 (bzw. <= 4). Die Wahrscheinlichkeit für eine Zahl >= 5 ist 2/6 (die zwei Zahlen 5 und 6 aus den sechs möglichen Zahlen), die Gegenwahrscheinlichkeit ist dann 1 - 2/6 = 6/6 - 2/6 = 4/6.

Die Wahrscheinlichkeit für 4 mal "Zahl >= 5" bei 6-maligem Würfeln ist:

{ 6! / [ 4! × (6 - 4)! ] } × 2/6 4 × 4/6 (6 -4)

= { (6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1) / [ (4 × 3 × 2 × 1) × (2 × 1) ] } × 1/3 4 × 2/3 2

= 15 × 1/3 4 × 2/3 2 = 0,0823 (ca. 8,2 %).

Dabei ist ! das Zeichen für Fakultät, 6 ist die Anzahl der Versuche und 4 die Anzahl der Erfolge.

Erläuterung

2/6 (oder gekürzt 1/3) ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Zahl >= 5 kommt, 2/6 × 2/6 ist die Wahrscheinlichkeit, dass zweimal eine Zahl >= 5 kommt u.s.w. und (2/6)4 ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass viermal eine Zahl >= 5 kommt; analog ist die Wahrscheinlichkeit, dass zweimal die Zahl nicht >= 5 ist gleich 4/6 × 4/6 = (4/6)2.

Es gibt mehrere Möglichkeiten, in welcher Anordnung die Würfel 4 mal >= 5 und 2 mal <= 5 sein können, z.B. die ersten 4 mal >= 5 und die letzten zweimal <= 5 oder die ersten 3 mal >= 5, dann zweimal <=5 und dann beim 6. Wurf wieder >= 5, u.s.w.; die Anzahl der Möglichkeiten ist durch den Term { 6! / [ 4! × (6 - 4)! ] } = 15 bestimmt; der Term entspricht dem Binomialkoeffizienten B (6 über 4).

Bernoulli-Experimente und Verteilungen

Bei einem Bernoulli-Versuch interessieren verschiedene Fragestellungen; aus denen ergeben sich die entsprechenden Verteilungen:

  • wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit einer bestimmten Anzahl von Erfolgen bei einer bestimmten Anzahl von Versuchen (z.B. geht es 70 von 100 behandelten Patienten besser?)Binomialverteilung;
  • wie lange dauert es bis zum ersten Erfolg (z.B. bis man eine 6 würfelt bei einem Brettspiel)?Geometrische Verteilung;
  • wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau eine bestimmte Anzahl aus einer Ziehung ein "Erfolg / Treffer" ist? (z.B. dass genau ein Teil defekt ist bei einer gezogenen Stichprobe von 10 Teilen "ohne Zurücklegen")Hypergeometrische Verteilung.