Definition
Mit dem Additionsverfahren können lineare Gleichungssysteme gelöst werden.
(Alternativen sind das Gleichsetzungsverfahren und das Einsetzungsverfahren.)
Beispiel
Beispiel: Additionsverfahren
Gleichungssystem (2 Gleichungen, 2 Variablen x und y):
x + y = 3
2x - 2y = -2
1. Variablen nach links bringen
Zunächst die beiden Variablen in beiden Gleichungen auf die linke Seite bringen (ist hier bereits der Fall).
2. Eine Gleichung umformen
Anschließend eine Gleichung vorbereitend so umformen, dass nach Addition der linken Seiten der beiden Gleichungen eine Variable wegfällt.
Hier wird die 1. Gleichung mit 2 multipliziert, um das -2y der zweiten Gleichung durch ein +2y in der ersten Gleichung ausgleichen zu können:
2x + 2y = 6
2x - 2y = -2
3. Seiten jeweils addieren
Addiert man nun die linken Seiten und die rechten Seiten der beiden Gleichungen, ergibt sich:
2x + 2y + 2x - 2y = 6 + (-2)
4x = 4
Dann muss x = 1 sein.
4. Ergebnis einsetzen
Das Ergebnis für x in eine der beiden ursprünglichen Gleichungen (hier die 1.) eingesetzt:
x + y = 3
1 + y = 3
y muss dann 2 sein.
Ergebnis zusammengefasst: x = 1 und y = 2.
5. Kontrolle
1. Gleichung:
x + y = 3
1 + 2 = 3
2. Gleichung:
2x - 2y = -2
2 × 1 - 2 × 2 = 2 - 4 = -2
Fazit
- Beim Additionsverfahren wird eine Gleichung so multipliziert, dass sich beim Addieren beider Gleichungen eine Variable aufhebt.
- Schritte: Variablen auf eine Seite → Gleichung multiplizieren → addieren → Ergebnis einsetzen → Kontrolle.
- Das Verfahren eignet sich besonders, wenn die Koeffizienten einer Variable entgegengesetzt sind oder leicht dazu gebracht werden können.
- Alternativen: Einsetzungsverfahren und Gleichsetzungsverfahren.
Selbsttest: Additionsverfahren
Aufgabe: Additionsverfahren anwenden
Lösen Sie das folgende LGS mit dem Additionsverfahren:
I: x + y = 5
II: 3x − 2y = 5
Vorbereitung: I × 2, damit sich y aufhebt:
2x + 2y = 10
Addition (2 × I + II):
2x + 2y + 3x − 2y = 10 + 5
5x = 15 ⇒ x = 3
Einsetzen in I:
3 + y = 5 ⇒ y = 2
Kontrolle:
I: 3 + 2 = 5 ✓
II: 3 · 3 − 2 · 2 = 9 − 4 = 5 ✓