Definition
Mit dem Einsetzungsverfahren können lineare Gleichungssysteme gelöst werden.
Alternative Begriffe: Einsetzverfahren.
Beispiel
Beispiel Einsetzungsverfahren
Gleichungssystem (2 Gleichungen, 2 Variablen x und y):
x + y = 3
2x - 2y = -2
Zunächst kann die 1. Gleichung nach x aufgelöst werden:
x = 3 - y
In die 2. Gleichung für x eingesetzt:
2 × (3 - y) - 2y = -2
6 - 2y - 2y = -2
6 - 4y = -2
-4y = -8
4y = 8
y = 2
Den gefundenen Wert für y in die nach x aufgelöste obige Gleichung eingesetzt:
x = 3 - 2 = 1
Kontrolle:
1 + 2 = 3
2 × 1 - 2 × 2 = 2 - 4 = -2
Fazit
- Beim Einsetzungsverfahren wird eine Gleichung nach einer Variable aufgelöst; der Ausdruck wird in die andere Gleichung eingesetzt.
- Dadurch entsteht eine Gleichung mit nur einer Unbekannten, die direkt gelöst werden kann.
- Den gefundenen Wert in die aufgelöste Gleichung einsetzen, um die zweite Variable zu berechnen.
- Besonders effizient, wenn eine Variable in einer Gleichung den Koeffizienten 1 hat (einfaches Auflösen).
Selbsttest: Einsetzungsverfahren
Aufgabe: Einsetzungsverfahren anwenden
Lösen Sie das folgende LGS mit dem Einsetzungsverfahren:
I: y = 2x − 1
II: 3x + 2y = 12
Gleichung I ist bereits nach y aufgelöst: y = 2x − 1
Einsetzen in II:
3x + 2 · (2x − 1) = 12
3x + 4x − 2 = 12
7x = 14 ⇒ x = 2
Einsetzen in I:
y = 2 · 2 − 1 = 3 ⇒ y = 3
Kontrolle:
I: 3 = 2 · 2 − 1 = 3 ✓
II: 3 · 2 + 2 · 3 = 6 + 6 = 12 ✓