Definition
Mit dem Gleichsetzungsverfahren können lineare Gleichungssysteme gelöst werden.
(Alternativen sind das Additionsverfahren und Einsetzungsverfahren).
Beispiel
Beispiel Gleichsetzungsverfahren
Gleichungssystem (2 Gleichungen, 2 Variablen x und y):
x + y = 3
2x - 2y = -2
1. Nach einer Variablen auflösen
Zunächst werden beide Gleichungen nach einer Variablen aufgelöst, zum Beispiel nach x.
Zunächst die 1. Gleichung:
x = 3 - y
Dann die 2. Gleichung:
2x = -2 + 2y
x = -1 + y
2. Gleichungen gleichsetzen
Dann werden die beiden nach x aufgelösten Gleichungen gleichgesetzt (sozusagen x = x):
3 - y = -1 + y
4 - y = y
4 = 2y
2 = y
3. Gefundenen Variablenwert in Gleichung einsetzen
Den gefundenen Wert für y in die nach x aufgelöste obige Gleichung eingesetzt:
x = 3 - 2 = 1
Ergebnisse: x = 1, y = 2.
4. Kontrolle
1. Gleichung:
x + y = 3
1 + 2 = 3
2. Gleichung:
2x - 2y = -2
2 × 1 - 2 × 2 = 2 - 4 = -2
Fazit
- Beim Gleichsetzungsverfahren werden beide Gleichungen nach derselben Variable aufgelöst und die entstehenden Ausdrücke gleichgesetzt.
- Durch das Gleichsetzen entsteht eine Gleichung mit nur einer Unbekannten.
- Den gefundenen Wert in eine der aufgelösten Gleichungen einsetzen, um die zweite Variable zu bestimmen.
- Besonders geeignet, wenn beide Gleichungen sich gut nach derselben Variable auflösen lassen.
Selbsttest: Gleichsetzungsverfahren
Aufgabe: Gleichsetzungsverfahren anwenden
Lösen Sie das folgende LGS mit dem Gleichsetzungsverfahren:
I: 2x − y = 3
II: x + y = 6
Beide Gleichungen nach y auflösen:
I: y = 2x − 3
II: y = 6 − x
Gleichsetzen (y = y):
2x − 3 = 6 − x
3x = 9 ⇒ x = 3
Einsetzen in II:
y = 6 − 3 = 3 ⇒ y = 3
Kontrolle:
I: 2 · 3 − 3 = 3 ✓
II: 3 + 3 = 6 ✓