Arithmetische Folge

Arithmetische Folge Definition

Eine arithmetische Folge ist z. B. 2, 5, 8, 11.

Die Differenz zwischen jeweils 2 Gliedern der Folge ist immer gleich: 5 - 2 = 3; 8 - 5 = 3; 11 - 8 = 3.

Es gibt 2 Möglichkeiten, Folgen darzustellen:

Explizite Darstellung

$$a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d$$

$a_1 = 2; a_2 = 5; a_3 = 8; a_4 = 11$.

Dabei ist $a_1$ das Anfangsglied, mit dem die Folge beginnt. Und d = 3 ist die (feste) Differenz.

Bei der expliziten Darstellung kann man n direkt einsetzen, um die einzelnen Folgenglieder zu erhalten, z. B. $a_3 = 2 + (3 - 1) \cdot 3 = 2 + 6 = 8$

Trägt man in ein Koordinatensystem die n auf der waagrechten x-Achse und die $a_n$ auf der senkrechten y-Achse ab – d. h. die Datenpunkte (1, 2), (2, 5), (3, 8) und (4, 11) – und verbindet diese, erhält man eine Gerade; es handelt sich um eine lineare Funktion mit einer Steigung von d = 3.

Der y-Achsenabschnitt ist $a_1 - d = 2 - 3 = -1$.

Rekursive Darstellung (Rekursive Folge)

$$a_{n + 1} = a_n + d$$

Bei der rekursiven Darstellung baut man auf vorherigen Folgengliedern auf, z. B.: $a_3 = a_2 + d = 5 + 3 = 8$

Die rekursive Folge braucht die Vorgängerglieder: für $a_3$ braucht man $a_2$ und für $a_2$ braucht man $a_1$ (der Wert für $a_1$ muss deshalb gegeben sein, von da aus kann man sich hochhangeln).

Jedes Glied einer arithmetischen Folge ist das arithmetische Mittel (Durchschnitt) seiner Nachbarglieder, z. B. für die 5: (2 (linker Nachbar ) + 8 (rechter Nachbar)) / 2 = 10 / 2 = 5.

Beispiele in der Praxis

Ein Kapital von 100 € wird 3 Jahre lang jährlich mit 4 % verzinst (ohne Zinseszinsen). Dann ist die Entwicklung des Kapitals eine arithmetische Folge: 100 €, 104 €, 108 €, 112 €.

Ein weiteres Beispiel wäre die lineare Abschreibung (mit einer negativen Differenz): Schreibt man einen Heißluftballon mit Anschaffungskosten von netto 1.000 € über 5 Jahre mit jeweils 200 € jährlich ab, ist die Zahlenfolge: 1.000 €, 800 €, 600 €, 400 €, 200 € und 0 €. Diese arithmetische Folge beginnt also mit 1.000 € und die feste Differenz ist - 200 €.

Alternative Begriffe: Arithmetische Zahlenfolge.