Arithmetische Folge

Arithmetische Folge Definition

Eine arithmetische Folge ist z.B. 2, 5, 8, 11. Die Differenz zwischen jeweils 2 Gliedern der Folge ist immer gleich: 5 - 2 = 3; 8 - 5 = 3; 11 - 8 = 3.

Es gibt 2 Möglichkeiten, Folgen darzustellen:

Explizite Darstellung

$$a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d$$

$a_1 = 2; a_2 = 5; a_3 = 8; a_4 = 11$. Die (feste) Differenz d = 3.

Bei der expliziten Darstellung kann man n direkt einsetzen, um die einzelnen Folgenglieder zu erhalten, z.B. $a_3 = 2 + (3 - 1) \cdot 3 = 2 + 6 = 8$

Rekursive Darstellung

$$a_{n + 1} = a_n + d$$

Bei der rekursiven Darstellung baut man auf vorherigen Folgengliedern auf, z.B.: $a_3 = a_2 + d = 5 + 3 = 8$

Die rekursive Folge braucht die Vorgängerglieder: für $a_3$ braucht man $a_2$ und für $a_2$ braucht man $a_1$ (der Wert für $a_1$ muss deshalb gegeben sein, von da aus kann man sich hochhangeln).

Jedes Glied einer arithmetischen Folge ist das arithmetische Mittel (Durchschnitt) seiner Nachbarglieder, z.B. für die 5: (2 (linker Nachbar ) + 8 (rechter Nachbar)) / 2 = 10 / 2 = 5.

Beispiele in der Praxis

Ein Kapital von 100 € wird 3 Jahre lang jährlich mit 4 % verzinst (ohne Zinseszinsen). Dann ist die Entwicklung des Kapitals eine arithmetische Folge: 100 €, 104 €, 108 €, 112 €.

Ein weiteres Beispiel wäre die lineare Abschreibung (mit einer negativen Differenz).

Alternative Begriffe: Arithmetische Zahlenfolge.