Geometrische Folge

Geometrische Folge Definition

Eine geometrische Folge ist z. B. 1, 2, 4, 8, 16.

Der Quotient aus jeweils 2 Gliedern der Folge ist immer gleich: 2 / 1 = 2; 4 / 2= 2; 8 / 4 = 2; 16 / 8 = 2.

Explizite Darstellung

$$a_n = a_1 \cdot q^{n - 1}$$

Dabei ist $a_1$ = 1 das Anfangsglied, mit dem die Folge beginnt. Und q = 2 ist der (feste) Quotient.

$$a_1 = 1 \cdot 2^{1 - 1} = 1$$

$$a_2 = 1 \cdot 2^{2 - 1} = 2$$

$$a_3 = 1 \cdot 2^{3 - 1} = 4$$

$$a_4 = 1 \cdot 2^{4 - 1} = 8$$

$$a_5 = 1 \cdot 2^{5 - 1} = 16$$

Trägt man in ein Koordinatensystem die n auf der waagrechten x-Achse und die $a_n$ auf der senkrechten y-Achse ab – d. h. die Datenpunkte (1, 1), (2, 2), (3, 4), (4, 8) und (5, 16) – und verbindet diese, erhält man eine Kurve; es handelt sich um eine exponentielle Funktion.

Der y-Achsenabschnitt ist $a_1$ / q = 1 / 2 = 0,5 (man kann hier auch $a_0$ ausrechnen: $a_0 = 1 \cdot 2^{0 - 1} = 2^{-1} = 0,5$).

Beispiele in der Praxis

Ein Kapital von 100 € wird 3 Jahre lang jährlich mit 4 % und Zinseszinsen verzinst; es handelt sich um ein exponentielles Wachstum. Die Entwicklung des Kapitals ist eine geometrische Folge: 100 €; 104 €; 108,16 € (104 × 1,04); 112,4864 € (108,16 × 1,04).

Ein weiteres Beispiel wäre die degressive Abschreibung.

Alternative Begriffe: Geometrische Progression, Geometrische Zahlenfolge.

Geometrische Summe

Addiert man z. B. die ersten 3 Glieder einer geometrischen Folge auf, erhält man die geometrische Summe S3 (ebenso können die ersten 2, 4, 5, 6 usw. Glieder aufsummiert werden).

Beispiel geometrische Summe

Möchte man das Kapital im obigen Beispiel aufaddieren (um z. B. das durchschnittliche Kapital zu berechnen), ist die geometrische Summe 100 € + 104 € + 108,16 € + 112,49 € = 424,65 €.

Berechnung: 100 × $\sum_{i=0}^3 1,04^i$ = 100 × (1,040 + 1,041 + 1,042 + 1,043) = 100 × 4,246464 = 424,65 € (gerundet).

Geometrische Summenformel

Mit der geometrischen Summenformel kann man den obigen Faktor von 4,246464 kürzer berechnen:

Beispiel geometrische Summenformel

Allgemeine Formel:

$$\sum_{i=0}^n q^i = \frac{q^{n + 1} - 1}{q - 1}$$

Mit den Beispielwerten:

$$\sum_{i=0}^3 1,04^i = \frac{1,04^{3 + 1} - 1}{1,04 - 1} = \frac{1,04^{4} - 1}{0,04} = 4,246464$$